Konvergenz oder Divergenz bestimmen (Bionomialkoeffizienz?)

Question

Hallo zusammen,

Ich muss bestimmen, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert,jedoch weiß ich nicht, wie man das so umwandeln muss,
dass man es vereinfachen (oder etwas damit machen) kann, da es zurzeit eher nicht so aussieht :/. Soll ich einfach versuchen, den Binomialkoeffizienten aufzulösen, ob wohl das k ja einfach = n + 2 ist?
Aufgabe:

$$  \sum_{n = 1}^\infty \binom{n+2}{n} ^{-\frac{1}{n}} $$

Problem/Ansatz:

Ich muss bestimmen, ob diese Reihe konvergiert oder divergiert,jedoch weiß ich nicht, wie man das so umwandeln muss,
dass man es vereinfachen (oder etwas damit machen) kann, da es zurzeit eher nicht so aussieht :/.


Vielen Dank im Voraus

Comments

Hat sich durch die Antwort erledigt.......

Answer 1

Es gilt
\( \begin{aligned} \left(\begin{array}{c} n+2 \\ n \end{array}\right)^{-1 / n} &=\left(\frac{(n+2) !}{n !(n+2-n) !}\right)^{-1 / n} \\ &=\left(\frac{(n+2)(n+1)}{2}\right)^{-1 / n}=\left(\frac{2}{(n+2)(n+1)}\right)^{1 / n} . \end{aligned} \)
Weiterhin gilt
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{(n+2)(n+1)}\right)^{1 / n} &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \exp \left(\frac{1}{n} \ln (2)-\frac{1}{n} \ln ((n+2)(n+1))\right) \\ &=\exp \left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \ln (2)-\frac{1}{n} \ln ((n+2)(n+1))\right)\right) . \end{aligned} \)
Mit der Regel von L'Hopital ergibt sich

\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln ((n+2)(n+1))}{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n+3}{(n+2)(n+1)}=0\end{aligned} \)

und somit

\(\begin{aligned} \begin{array}{l}\displaystyle \exp \left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n} \ln (2)-\frac{1}{n} \ln ((n+2)(n+1))\right)\right) \\ =\displaystyle\exp \left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (2)}{n}-\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln ((n+2)(n+1))}{n}\right) \\ =\exp (0-0)=1 \end{array}\end{aligned} \)
Insbesondere ist es also keine Nullfolge, womit die Reihe divergiert.

Comments

Wow das ist ja sehr ausführlich.

Vielen Dank, wirklich!

So was in der Art hatte ich inzwischen auch, also danke für die Bestätigung auch auf jeden Fall:).

Answer 2

\({n+2\choose n}=\frac{1}{2}(n+2)(n+1)\)

Comments

Hi,

danke erstmal.

Bei mir steht jetzt im oberen Teil (n+2) und nicht (n+1).
Ändert das was?

Und noch unabhängig davon: woher kommt deine Lösung, wenn ich fragen darf?

Grüße,
Rindfleisch

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Bei mir steht jetzt im oberen Teil (n+2) und nicht (n+1).

War ein Tippfehler.

woher kommt deine Lösung

\(\begin{aligned} & {n+2 \choose n}\\ =\, & \frac{\left(n+2\right)!}{n!\left(n+2-n\right)!}\\ =\, & \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n!}{n!\cdot2!}\\ =\, & \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{2!} \end{aligned}\)

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Alles klar, vielen Dank! :)

Answer 3

\({{n+2}\choose {n}}^{-1/n}=\frac{1}{\sqrt[n]{1/2(n+2)(n+1)}} \geq \frac{1}{\sqrt{(n+2)(n+1)}}\geq \frac{1}{n+2}\) für \(n\geq 2\).

Damit ist \(\sum \frac{1}{n+2}\) eine divergente Minorante.