Bijektivität von Abbildungen

Question

Aufgabe:

Sei X → Y eine Abbildung zwischen endlichen Mengen X und Y.

Zeigen Sie:

(i) Ist f injektiv und |X| = |Y|, so ist f bereits bijektiv.

(ii) Ist f surjektiv und |X| = |Y|, so ist f bereits bijektiv.

(iii) Ist f bijektiv, so gilt |X| = |Y|.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider noch keinen wirklichen Ansatz, da ich nicht wirklich weiß, wie ich bei solch einer Aufgabe anfangen muss.

Es wäre sehr nett, wenn mir trotzdem jemand dabei helfen könnte.

Comments

kleine Korrektur:

(ii)  "subjektiv"  →  "surjektiv"

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Stimmt, habe ich geändert.

Answer 1

Benutze z.B. folgende Tatsache:

Sind \(A\) und \(B\) endliche Mengen mit \(A\subseteq B\),

dann gilt \(|A|=|B|\Rightarrow A=B\).

Comments

Danke für die Antwort, aber ich komme leider trotzdem noch nicht weiter.

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Wenn \(f\) injektiv ist, dann gilt (da Verschiedenes auf Verschiedenes

abgebildet wird): \(|f(X)|=|X|\), andererseits gilt \(f(X)\subseteq Y\).

Damit solltest du (i) hinbekommen.

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Also verstehe ich es richtig, da ∣f(X)∣=∣X∣ gilt und wie in der Aufgabenstellung beschrieben |X| = |Y| gilt, ist f auch surjektiv?

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Oder kann man sagen, wenn der Definitionsbereich genauso groß ist, wie der Bildbereich, dann wird jeder Wert einmal getroffen, wenn f injektiv ist?

Und wie wäre es dann bei (ii) und (iii)?

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Verstehe deine "Unsicherheit" nicht.

Aus \(|f(X)|=|X|=|Y|\) und \(f(X)\subseteq Y\) folgt doch

sofort \(f(X)=Y\), also \(f\) surjektiv.

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Vielen Dank. Meine Unsicherheit kommt schlichtweg daher, dass ich offensichtlich nicht sonderlich gut in Mathematik bin. Es ist für mich ein Fach, welches ich nur bestehen muss. Da ich Molekulare und angewandte Pflanzenwissenschaften studiere, interessiere ich mich auch eher für meine anderen Fächer, würde Mathematik aber dennoch gerne besser verstehen.

Bedeutet das jetzt, dass bei (ii) aus der Surjektivität von f folgt, dass f(x) = X (also injektiv), da f(x) = Y und |X| = |Y| gelten?

Und bei (iii) da f bijektiv ist, gelten f(x) = X und f(x) = Y, also |X| = |Y|?

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Und bei (iii) da f bijektiv ist, gelten f(x) = X und f(x) = Y, also |X| = |Y|?

Nein, nicht \(f(X)=X\), sondern \(|Y|=|f(X)|=|X|\)

Da ich Molekulare und angewandte Pflanzenwissenschaften studiere

Hört sich sehr interessant an!

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Okay, vielen Dank!

Ja, hab mich schon immer sehr für Biologie und besonders Pflanzen und Pilze interessiert.