Es sei für x≠0 der Koordinatenvektor von x bzgl. B \( =\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} \).
Dann ist es für f(x) der Vektor \( =\begin{pmatrix} -x_2\\x_1\\x_4\\-x_3 \end{pmatrix} \).
Prüfen, ob die immer linear unabhängig sind:
\( a\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} +b\cdot \begin{pmatrix} -x_2\\x_1\\x_4\\-x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\)
==> \( \begin{pmatrix} a\cdot x_1 - b\cdot x_2\\ a\cdot x_2 + b\cdot x_1\\ a\cdot x_3 + b\cdot x_4\\ a\cdot x_4 - b\cdot x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix}\)
Daraus 4 Gleichungen machen und die ersten beiden und
auch die letzten beiden addieren gibt
\( (a+b) \cdot x_1 + (a-b) \cdot x_2 = 0 \) und
\( (a+b) \cdot x_3 + (a-b) \cdot x_4 = 0 \)
Da x≠0 ist, muss mindestens eine Koordinate ungleich 0 sein, etwa
die erste, also x1≠0. Wären alle anderen =0 bliebe
von den ursprünglichen 4 Gleichungen nur
(a+b)x1 = 0 und (a-b)x1 = 0 und damit a+b=0 und a-b=0
also a=b=0.
Wären x1 und x2 beide ungleich 0, dann ergäbe sich für a und
b das Gleichungssystem
\( \begin{pmatrix} a\cdot x_1 - b\cdot x_2\\ a\cdot x_2 + b\cdot x_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\)
mit der Determinate \( x_1^2 + x_2^2 \), also ungleich 0 und damit
a=b=0 einzige Lösung.
Also sind x und f(x) jedenfalls lin. unabhängig und damit ihr
Span 2-dimensional. q.e.d.
