0 Daumen
245 Aufrufe

Aufgabe: Zeigen Sie jede Gruppe der Ordnung 585 ist auflösbar

Ich denke, dass es was mit den Normalteilern zu tun hat, aber verstehe leider nicht wie.

Muss ich die Ordnung in Primfaktoren zerlegen?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

tatsächlich ist es bei gegebener Ordnung oft hilfreich sich die Primzahlzerlegung aufzuschreiben und mal zu schauen was die Sylow-Sätze liefern.

Hier ist also \(585=3^2\cdot 5\cdot 13\). Nach Sylow können wir also eine Untergruppe \(U_9\) der Ordnung 9, eine Untergruppe \(U_5\) der Ordnung 5 und eine Untergruppe \(U_{13}\) der Ordnung 13 wählen.

Es gilt dann \(U_5\vartriangleleft G\) und \(U_{13}\vartriangleleft G\) (das kann man auch mit den Sylow-Sätzen beweisen). Also ist auch \(U_5U_{13}\vartriangleleft G\).

Damit ist es leicht zu zeigen, dass \(G\) auflösbar ist, z.B. mit der Reihe$$\{1\}\leq U_5\leq U_5U_{13}\leq (U_5U_{13})U_9=G$$

(Was sind die Faktoren, warum sind sie abelsch?)

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community