Hallo,
tatsächlich ist es bei gegebener Ordnung oft hilfreich sich die Primzahlzerlegung aufzuschreiben und mal zu schauen was die Sylow-Sätze liefern.
Hier ist also \(585=3^2\cdot 5\cdot 13\). Nach Sylow können wir also eine Untergruppe \(U_9\) der Ordnung 9, eine Untergruppe \(U_5\) der Ordnung 5 und eine Untergruppe \(U_{13}\) der Ordnung 13 wählen.
Es gilt dann \(U_5\vartriangleleft G\) und \(U_{13}\vartriangleleft G\) (das kann man auch mit den Sylow-Sätzen beweisen). Also ist auch \(U_5U_{13}\vartriangleleft G\).
Damit ist es leicht zu zeigen, dass \(G\) auflösbar ist, z.B. mit der Reihe$$\{1\}\leq U_5\leq U_5U_{13}\leq (U_5U_{13})U_9=G$$
(Was sind die Faktoren, warum sind sie abelsch?)