Wurzelgleichungen mit 2 und 3 Wurzeln?

Question

Wie löst man folgende Wurzelgleichungen?

1.$$\sqrt{4x-3} = \sqrt{4x+2} + \sqrt{x-3}$$

2.$$\sqrt{8x+1} - \sqrt{7-x} = 3$$

Wie geht man da am besten vor?

Answer 1

Hallo,

\(\sqrt{4x-3}=\sqrt{4x+2}+\sqrt{x-3}\)

Beide Seiten quadrieren:

\( 4 x-3=4 x+2+2 \sqrt{(4 x+2)(x-3)}+x-3 \)

Zusammenfassen und Wurzelterm auf eine Seite der Gleichung:

\( -x-2=2 \sqrt{(4 x+2)(x-3)} \)

Wieder quadrieren und zusammenfassen:

\( \begin{array}{c}x^{2}+4 x+4=4\left(4 x^{2}-10 x-6\right) \\ x^{2}+4 x+4=16 x^{2}-40 x-24 \\ -15 x^{2}+44 x+28=0 \\ x^{2}-\frac{44}{15} x-\frac{28}{15}=0\end{array} \)

pq-Formel anwenden:

\( \begin{array}{l}x_{1,2}=\frac{22}{15} \pm \sqrt{\frac{484}{225}+\frac{420}{225}} \\ =\frac{22}{15} \pm 2 \\[10pt] x_{1}\approx-2 \quad x_{2}\approx3,47\end{array} \)

Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, jetzt noch die Probe machen.

Die Lösungsmenge ist leer.

Bei der anderen Gleichung gehst du genauso vor.

Gruß, Silvia

Answer 2

1. 4x-3 = 4x+2+2*√(4x-3)(x-3)+x-3

-x-2 =2*√(4x-3)(x-3)

x^2+4x+4 = 4(4x-3)(x-3) = 16x^2-60x+36

15x^2+64x-32= 0

x^2+64/15*x-32/15 =0

pq-Formel:

...

Answer 3

Quadrieren, binomische Formel anwenden, Wurzelgesetzte anwenden. Dann hast du nur noch eine Wurztel in der Gleichung.

Answer 4

zu 1.:

Angenommen, \(x\) wäre eine Lösung der Ungleichung,

dann wäre \(\sqrt{4x-3}\geq \sqrt{4x+2}\), also

\(4x-3\geq 4x+2\Rightarrow -3\geq 2\), Widerspruch!