Hallo,
es steht ja schon da, was du machen sollst. Substituiere \(x+t=\sqrt{x^2-x+1}\, (*)\). Du kannst dann \((*)\) nach \(x\) umstellen: Du erhältst dann \(x=\frac{1-t^2}{2t+1}\). Dann musst du dich um die Differentiale kümmern, es gilt:$$\mathrm{d}x=-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}\, \mathrm{d}t$$ Und insofern ich mich nicht verrechnet habe:$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-x+1}}=\int \frac{-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}}{\sqrt{\left(\frac{1-t^2}{2t+1}\right)^2-\frac{1-t^2}{2t+1}+1}}\, \mathrm{d}t=\int \frac{-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}}{\sqrt{\frac{(t^2+t+1)^2}{(2t+1)^2}}}\, \mathrm{d}t=\int \frac{-\frac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}}{\frac{(t^2+t+1)}{(2t+1)}}\, \mathrm{d}t \\ =\int \frac{-2(2t+1)(t^2+t+1)}{(2t+1)^2(t^2+t+1)}\, \mathrm{d}t=-2\int \frac{1}{(2t+1)}\, \mathrm{d}t=-\log(2t+1),$$ wobei das letzte Integral eine lineare Substitution ist (oder man kennt den Integraltyp)
Jetzt noch Rücksubstituion.