Beweis das dass Umkehrbild von phi: G -> H , also phi^-1: H -> G auch ein Isomorphismus ist.

Question

Wie beweise ich das Umkehrbild von phi: G -> H = phi^-1: H -> G , also das beide ein Isomorphismus sind.
Ist mein Beweis ausreichend?

Text erkannt:

Da \( \phi \) ein Isomorphismus ist, ist err bijehtru und linear, daun ist \( \phi^{-1} \) aruch bijerbau and linear.
2.2: \( \phi^{-1} \) ist injehtiu and surjedrtiv.
Injehtivitat: Sei \( \phi^{-1}\left(v_{1}\right)=\phi^{-1}\left(v_{2}\right), \quad v_{1}, v_{2} \in H \) dann, \( \phi\left(\phi^{-1}\left(v_{1}\right)\right)=\phi\left(\phi^{-1}\left(v_{2}\right)\right) \).
Da \( \phi \) injehtiv ist, gilt \( V_{1}=V_{2} \), somit ist \( \phi^{-1} \) injektiv.
Surjektivität: Sei vein Velyfor in 6. Dann \( \phi^{-1}(\phi(V))=v \) Da \( \phi \) suriectativ ist, haben wiv \( v \) im Bild von \( \phi \).
Dies 2cigt, dass \( \phi^{-1} \) surjelutiu ist.
Daher is t \( \phi^{-1} \) ern isomorphismos.

Comments

Wenn es sich um beliebige Gruppen handelt,

ist "linear" nicht angebracht.

Answer 1

Dass \(\Phi^{-1}\) bijektiv ist, muss nicht gezeigt werden,

da dies aus der Mengenlehre hinlänglich bekannt ist.

Ich nehme an, dass \(G\) und \(H\) Gruppen sind.

Daher muss man zeigen, dass \(\Phi^{-1}\)

ein Homomorphismus ist.

Genau das fehlt bei dir.

Man zeige also, dass

\(\Phi^{-1}(h_1h_2)=\Phi^{-1}(h_1)\Phi^{-1}(h_2)\quad(*)\) ist.

Hierin liegt die Hauptlast des Beweises.

Da \(\Phi\) bijektiv ist, folgt aus

\(\Phi(\Phi^{-1}(h_1h_2))=\Phi(\Phi^{-1}(h_1)\Phi^{-1}(h_2))\) die Gleichung \((*)\).

Die linke Seite ist \(h_1h_2\). Die rechte Seite ist

- da \(\Phi\) ein Homomorphismus ist -

\(\Phi(\Phi^{-1}(h_1))\Phi(\Phi^{-1}(h_2))\), also

ebenfalls \(h_1h_2\).