Aufgabe:
Gegeben sei eine Matrix A ∈ Km×n.a) Finde die sogennante Elementarmatrizen Qji (α) sodass,(i) Qji (α) · A zur i-ten Zeile das α-fache der j-ten Zeile addiert, wobei i≠ j gilt.
Problem/Ansatz:
Kann man das so machen (siehe Bild)
Die Elementarmatrix, die du suchst, ist folgende:
$$Q_j^i(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & \alpha & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix},$$ wobei \(\alpha\) an der \((i,j)\)-Stelle steht. Kann man auch hier nachlesen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix#Row-addition_transformations
Also ist muss ich dass alpha links schreiben oder ist das egal?
Siehe die Antwort von nudger.
Deine Matrix ist richtig.
Sei \(E_n\) die \(n\times n\)-Einheitsmatrix und \(E_{ij}\) die Matrix, die aus lauter Nullen
besteht, jedoch in der Position \((i,j)\) eine 1 hat, so ist
\(Q_j^i(\alpha)=E_n+\alpha E_{ij}\).
Deine Matrix ist genau die richtige. Du hast sie für den Fall \(j>i\) angegeben.
Bei Gauß-Operationen zur Transformation auf rechts-obere Dreiecksform ist aber \(j<i\) und dann steht das \(\alpha\) links von der 1 in der i-ten Zeile (so wie in der anderen Antwort). Jedenfalls hast Du es verstanden und das ist die Hauptsache.
okay danke, war mir nicht mehr sicher, mein Kopf raucht langsam nach 7h Höheremathe lernen
Bei Gauß-Operationen ist aber \(j<i\)
Wenn man die Gauss-Operationen bis zur reduziertenTreppennormalform weitertreibt, treten auch Elementarmatrizenmit \(i<j\) auf.
Stimmt, war ungenau formuliert, ist korrigiert.
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