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Aufgabe:

Gegeben sei eine Matrix A ∈ Km×n.
a) Finde die sogennante Elementarmatrizen Qji (α) sodass,
(i) Qji (α) · A    zur i-ten Zeile das α-fache der j-ten Zeile addiert, wobei i≠ j gilt.


Problem/Ansatz:

Kann man das so machen (siehe Bild)IMG_0206.JPG

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Beste Antwort

Die Elementarmatrix, die du suchst, ist folgende:

$$Q_j^i(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 &        &  &        &  &        &  \\   & \ddots &  &        &  &        &  \\   &        & 1 &        &  &        &  \\   &        &  & \ddots &  &        &  \\   &        & \alpha &        & 1 &        &  \\   &        &  &        &  & \ddots &  \\   &        &  &        &  &        & 1 \end{bmatrix},$$ wobei \(\alpha\) an der \((i,j)\)-Stelle steht. Kann man auch hier nachlesen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix#Row-addition_transformations

Avatar von 28 k

Also ist muss ich dass alpha links schreiben oder ist das egal?

Siehe die Antwort von nudger.

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Deine Matrix ist richtig.

Sei \(E_n\) die \(n\times n\)-Einheitsmatrix und \(E_{ij}\) die Matrix, die aus lauter Nullen

besteht, jedoch in der Position \((i,j)\) eine 1 hat, so ist

\(Q_j^i(\alpha)=E_n+\alpha E_{ij}\).

Avatar von 29 k
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Deine Matrix ist genau die richtige. Du hast sie für den Fall \(j>i\) angegeben.

Bei Gauß-Operationen zur Transformation auf rechts-obere Dreiecksform ist aber \(j<i\) und dann steht das \(\alpha\) links von der 1 in der i-ten Zeile (so wie in der anderen Antwort). Jedenfalls hast Du es verstanden und das ist die Hauptsache.

Avatar von 9,7 k

okay danke, war mir nicht mehr sicher, mein Kopf raucht langsam nach 7h Höheremathe lernen

Bei Gauß-Operationen ist aber \(j<i\)

Wenn man die Gauss-Operationen bis zur reduzierten
Treppennormalform weitertreibt, treten auch Elementarmatrizen
mit \(i<j\) auf.

Stimmt, war ungenau formuliert, ist korrigiert.

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