\( \mathcal{M} \) ist ja wohl das Mengensystem.
\( \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c}=\bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \)
Musst du in 2 Teilen beweisen:
1. \( \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c} ⊆ \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \)
2. \( \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c} ⊇ \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \)
Der 1. Teil etwa so:
Sei \( x \in \left(\bigcup_{M \in \mathcal{M}} M\right)^{c} \)
==> x∈X und \( x \notin \bigcup_{M \in \mathcal{M}} M \)
==> x∈X und für alle \(M \in \mathcal{M}\) gilt \( x \notin M \)
==> Für alle \(M \in \mathcal{M}\) gilt \( x \in M^{c} \)
==> \( x \in \bigcap_{M \in \mathcal{M}} M^{c} \) q.e.d.