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Hallo. Ich soll folgende zwei Mengen in der Gaußschen Zahlenebene Skizzieren. Kann mir jemand dabei helfen?

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Was hast du denn versucht?

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Und für die zweite Menge habe ich mir das hier gedacht.

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\(M_1\) ist richtig.

\(\Re(z-1/z)=0\) hast du nicht richtig aufgedröselt.

Wenn \(z=x+iy\), dann ist \(1/z=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}\). Das sieht man ein, indem man erweitert. (Geometrisch: Kreisspiegelung)

Das heißt \(\Re(z-1/z)=x-\frac{x}{x^2+y^2}=x\cdot \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2}=0\).

Aus \(|z|=1/2\) kriegst du \(x^2+y^2=1/2\). Du hast dann also: \(2x\cdot (x^2+y^2-1)=0\). Das ist der Fall, wenn \(x=0 \, \vee \, x^2+y^2=1\).

Du hast also eine Einheitssphäre mit Punkt, wenn ich nichts übersehe.

Kannst du mir diesen Satz genauer erklären? Bzw. das

Aus \(|z|=1/2\) kriegst du \(x^2+y^2=1/2\). folgt kapier ich. Aber wie komme ich dann auf

 \(2x\cdot (x^2+y^2-1)=0\).

Und Einheitssphäre hab ich leider auch noch nie gehört ^^

\(x^2+y^2=1\) beschreibt den Rand eines Einheitskreises.

Das nennt man Einheitssphäre.

Ich habe:$$\Re(z-1/z)=x-\frac{x}{x^2+y^2}=x\cdot \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2}=0$$ und $$x^2+y^2=1/2$$ Du kannst also in der oberen Gleichung \(x^2+y^2\) durch \(1/2\) ersetzen, bzw. wird das dann zu \(\cdot 2\).

Alles klar. Glaub ich checks ^^. Besten Dank =)

Warum hast Du nicht überall x^2+y^2=1/4 gesetzt?

True da würde dann -3x rauskommen

Bzw. -3x=0

Also x=0


Das bedeutet die Menge besteht aus allen Zahlen auf der Imaginären Achse oder?

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Ich ergänze hier mal die Lösung zu \(M_2\), da in den Kommentaren oben Fehler sind.


Ich rechne mit Absicht weitgehend komplex, weil meines Erachtens dies auch ein/der Sinn der Aufgabe ist.

Zunächst zwei hilfreiche Tatsachen zu komplexen Zahlen:

\(z\bar z = |z|^2 \stackrel{z\neq 0}{\Rightarrow} \frac 1z = \frac{\bar z}{|z|^2}\quad (1)\)

\(z + \bar z = 2\Re(z) \Rightarrow \Re(z) = \frac 12(z+\bar z)\quad (2)\)

Damit haben wir

\(\Re\left(z-\frac 1z\right) =  \Re\left(z-\frac{\bar z}{|z|^2}\right) \)

\( \stackrel{(1)}{=} \frac 12 \left( z-\frac{\bar z}{|z|^2} + \bar z-\frac{z}{|z|^2}  \right)\)

\(\stackrel{(2)}{=}\frac 12 \left( 2\Re(z) - \frac{2\Re(z)}{|z|^2} \right) \)

\(\stackrel{|z|=\frac 12}{=} -3\Re(z) \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow \Re(z) = 0 \)

\(\stackrel{|z|=\frac 12, \Re(z) = 0}{\Longrightarrow} M_2 = \left\{\frac i2, -\frac i2\right\}\)


Lösung mit WolframAlpha: Guckst du hier.

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