Lokale Extrema (mehrdimensional) mit eingeschränktem Bereich, f(x,y)=-4xy+2x^2 +y^4 +1

Question

Aufgabe:

gegeben ist f(x,y)=-4xy-2x²+y⁴ +1

und ein quadratischer Bereich mit den Eckpunkten O(0,0), A(2,0), B(2,2), C(0,2)

Nun soll ich den größten und kleinsten Funktionswert innerhalb des Bereichs angeben. Ich habe bereits die relativen Extrema der Funktion selbst berechnet( zwei Minima bei P1(0,0,-1) und P2(1,1,-2) und ein Sattelpunkt bei P3(-1,-1,-2)..) aber ich bin mir nicht sicher wie ich rechnerisch die Extrema innerhalb des Bereichs ausrechnen kann… Kann da jemand helfen?

Comments

Hallo,

wie bist du auf diese Punkte gekommen? Letztlich ist das ein Lagrange-Optimierungsproblem.

Die Funktion \(f(x,y)=-4xy-2x^2+y^4+1\) soll unter \(0\leq x\leq 2\, \land \, 0\leq y \leq 2\) maximiert/minimiert werden.

Du könntest, um den Rand zu untersuchen, die einzelnen Abschnitte als Funktion schreiben, z. B. \(y(x)=0\) für \(0\leq x\leq 2\) und dann \(f(x,0)\) betrachten.

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Ah, vielen Dank!! Lagrange hatte ich da garnicht im Kopf, aber macht Sinn, das sind ja Nebenbedingungen. Auf die Extrempunkte bin ich durch Ermittlung der x/y „Kandidaten“ und Überprüfung der Hessematrix gekommen. Die sollten ohne die Einschränkung des Bereichs aber doch stimmen, oder? Denn die relativen Extrema der Funktion sollte man in der Aufgabe davor auch ermitteln (ohne Nebenbed.)