Zeigen Sie, dass f genau dann in a stetig ist, wenn limx↘a f(x) = limx↗a f(x) = f(a) gilt.

Question

Aufgabe:

Sei f : D → R mit D ⊆ R und a ∈ D. Zeigen Sie, dass f genau dann in a stetig ist, wenn limx↘a f(x) = limx↗a f(x) = f(a) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie man hier einen Beweis führen soll, der ganze 5 Punkte gibt. Eigentlich ist das ja nur die Definition von Stetigkeit in einem Punkt. Kann mir jemand weiterhelfen/einen Ansatz geben?

Comments

Wenn ihr die Folgendefinition der Stetigkeit habt,

dann heißt es dort ja sicher:

Für jede Folge x_n mit Grenzwert xo

konvergiert die Folge der Funktionswerte

gegen f(xo).

Hier geht es um Folgen, bei denen alle Folgenglieder

kleiner xo sind, oder eben alle größer xo sind

und die Folge geht gegen xo.

Also ist der Teil : "steig bei xo" ==>  " limx↘a f(x) = limx↗a f(x) = f(a)"

wohl klar. Für die Umkehrung braucht man aber wohl Argumente.

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Kann ich vielleicht das Epsilon-Delta- Kriterium für die Umkehrung verwenden?

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Gute Idee, das müsste gehen.