Integral Trigonometrischer Funktion Grenzen berechnen

Question

Aufgabe:
\( \int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{3*π}{4}} \) sinh(x) * cos (x) dx

Problem/Ansatz:

Ich habe zweimal die Partielle Integration angewendet und bin dann auf das Ergebnis \( \int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{3*π}{4}} \) cos(x) * sinh(x) dx gekommen. Jetzt müsste ich den Betrag der Differenz beider Grenzen berechnen. also: (cos(\( \frac{3π}{4} \) ) * sinh(\( \frac{3π}{4} \) ) - ((cos(\( \frac{π}{4} \) ) * sinh(\( \frac{π}{4} \) ) = 4,3?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich hier einen Denkfehler habe. Was ist schiefgelaufen?

Comments

https://www.integralrechner.de/

---

Ganz vergessen. Dankeschön!

Answer 1

Hallo,

Ich habe zweimal die Partielle Integration angewendet

Das ist doch 'ne gute Idee. Aber anscheinend bist Du beim Ableiten und Integrieren durcheinander gekommen. Ich habe:$$\begin{aligned} \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x &= \left[\cosh(x)\cos(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} + \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \cosh(x)\sin(x)\,\text{d}x \\ \dots&= \left[\cosh(x)\cos(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} + \left[\sinh(x)\sin(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} - \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4}\sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x \\ 2\int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x &= \left[\cosh(x)\cos(x) + \sinh(x)\sin(x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}\\ \int\limits_{\pi/4}^{3\pi/4} \sinh(x)\cos(x)\,\text{d}x &= \frac{1}{4}\sqrt{2}\left(-\cosh\left(\frac{3\pi}{4}\right)+\sinh\left(\frac{3\pi}{4}\right)-\cosh\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sinh\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right) \\ &\approx -0,809 \end{aligned}$$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Berechnung. Das hat mir weitere Einblicke gegeben.
Haben Sie dann die Cos(x) und die Sin(x) ausgeklammert und mit \( \frac{1}{2} \) multipliziert? Ich habe Ihr Ergebnis auch erreicht allerdings hat mein Taschenrechner nicht alles zusammen hinbekommen.

Ich habe folgende Werte:
x = \( \frac{3π}{4} \):
Cosh(\( \frac{3*π}{4} \)) ≈ 5.3228

Cos(\( \frac{3*π}{4} \)) ≈ - \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Sinh(\( \frac{3*π}{4} \)) ≈ 5.2280

Sin(\( \frac{3*π}{4} \)) ≈ \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

x = \( \frac{π}{4} \):
Cosh(\( \frac{π}{4} \)) ≈ 1.325

Cos(\( \frac{π}{4} \))≈  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Sinh(\( \frac{π}{4} \)) ≈ 0.8687

Sin(\( \frac{π}{4} \))≈ \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Somit müsste doch:
2\( \int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{3π}{4}} \) sinh(x)*cos(x) dx = [cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)] ^{3*π / 4} - [cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)] ^{π / 4}
gelten.

Dann gilt auch:

... \( \frac{1}{2} \) *([cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)]^{3*π / 4} -[cos(x)*cosh(x)+sin(x)*sinh(x)]^{π / 4})

Also in Zahlen:

\( \frac{1}{2} \) * ( (- \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) * 5.3228 + \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) * 5.2280  ) -
(\( \frac{\sqrt{2}}{2} \) * 1.325 + \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) * 0.8687 ) )

Teilweise ausgerechnet:

\( \frac{1}{2} \) * (-0.067034) - \( \frac{1}{2} \) (1.55118) ) 

Also:

-0.033517 - 0.77559

≈ - 0.809

---

Haben Sie dann die Cos(x) und die Sin(x) ausgeklammert und mit \( \frac{1}{2} \) multipliziert?

Es ist $$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$und$$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$$da habe ich den Faktor \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\) ausgeklammert.

Von der dritten zur vierten Zeile habe ich die Gleichung durch 2 geteilt.