Extremstellen mit Nebenbedingungen: f=x^2 + y^2 + z^2, g1=x^2 + y^2 - z^2, g2=x^2 + y^2 +x^2y^2 - 8

Question

Aufgabe:

Minimieren Sie die Funktion f(x,y,z) unter den Nebenbedingungen C.

\(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\)

\(C= \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: (x^2 + y^2 = z^2) \cap (x^2 + y^2 +x^2y^2 = 8) \right\}\)

Problem/Ansatz:

Das war, in etwa (Fragestellung leicht anders formuliert) die Aufgabe in meiner Klausur heute. Ich bin bei dem Verfahren eigentlich recht fit, bei dem Gleichungssystem aber einfach auf kein Ergebnis gekommen. Was ich gemacht habe:

\(\nabla f(x,y,z) = \left(\begin{array}{c} 2x \\ 2y \\ 2z \end{array}\right)\)

\(\nabla g_1(x,y,z) = \left(\begin{array}{c} 2x \\ 2y \\ -2z \end{array}\right)\)

\(\nabla g_2(x,y,z) = \left(\begin{array}{c} 2x + 2xy^2 \\ 2y + 2x^2y \\ 0 \end{array}\right)\)

Soweit so gut, dann das Gleichungssystem aufstellen mit \(\nabla f(x,y,z) = \lambda_1 \nabla g_1(x,y,z) = \lambda_2 \nabla g_2(x,y,z)\):

I: \(2x = \lambda_1 2x = \lambda_2 (2x + 2xy^2)\)

II: \(2y = \lambda_1 2y = \lambda_2 (2y + 2x^2y)\)
III:  \(2z = \lambda_1 -2z = 0\)
IV: \(x^2 + y^2 = z^2\)
V: \(x^2 + y^2 +x^2y^2 = 8\)

So, aus III folgt jetzt aber, dass entweder \(\lambda_1 = 0\) oder \(z=0.\)

Fall 1: \(\lambda_1 = 0\):
Mit I und II folgt dann, dass \(x=y=0\). Das liefert Widerspruch zu V, weil \(0^2 + 0^2 +0^2 \cdot 0^2 = 8\) nicht stimmt.

Fall 2: \(z=0\):
Einsetzen in IV liefert dann, dass \(x^2 + y^2 = 0\), also \(x^2 = - y^2\). Nachdem \(x^2 \geq 0\) und \(y^2 \geq 0\), müssen x und y selber 0 sein, liefert den gleichen Widerspruch wie in Fall 1.

Klausurpanik liefert folgenden Gedanken: Okay, vielleicht hab ich im Verfahren was falsch gemacht und sollte statt \(\nabla g_2(x,y,z) = \left(\begin{array}{c} 2x + 2xy^2 \\ 2y + 2x^2y \\ 0 \end{array}\right)\) nur \(\nabla g_2(x,y) = \left(\begin{array}{c} 2x + 2xy^2 \\ 2y + 2x^2y \end{array}\right)\) verwenden.
Also lasse ich das \(=0\) in Gleichung III weg und erhalte \(2z = \lambda_1 -2z\).
Das lässt mir nun noch den Fall \(\lambda_1 = -1\) zu.
Einsetzen in I liefert: \(2x = -2x \Rightarrow x=-x \Rightarrow x=0\). Analog für II liefert \(y=0\). Gleicher Widerspruch wie zuvor.

Da sind mir dann die Ideen ausgegangen.

Ich weiß nicht, wo mein Fehler liegt und wie ich das in der Klausur lösen hätte können.
Und auch wenn die Klausur rum ist, nagt die Aufgabe noch an mir.
Bitte helft mir weiter!

Comments

Eine Visualisierung lohnt im Grunde immer:

         

die blauen Kurven sind die Schnittmenge der Nebenbedingungen. Die gelben Punkte zeigen die Koordinaten der Extrempunkte.

(klick drauf)

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Das ist eine sehr anschauliche Grafik, danke dir!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Dein Gleichungssystem ist falsch.

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine \(\pink{\text{Linearkombination}}\) der Gradienten aller Nebenbedingungen sein, d.h. das Gleichungssystem lautet:$$\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}\pink+\lambda_2\begin{pmatrix}2x+2xy^2\\2y+2x^2y\\0\end{pmatrix}$$

Alle 3 Gradienten müssen also in einer Ebene liegen, d.h. das von ihnen aufgespannte 3-dim. Volumen ist Null, also muss die Determinante Null sein. Zur Berechnung der Determinante subtrahieren wir im ersten Schritt die mittlere Spalte von der ersten und der dritten Spalte $$D=\left|\begin{array}{rrc}2x & 2x & 2x+2xy^2\\2y & 2y & 2y+2x^2y\\2z & -2z & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrc}0 & 2x & 2xy^2\\0 & 2y & 2x^2y\\4z & -2z & 2z\end{array}\right|$$Im zweiten Schritt ziehen wir gleiche Faktoren aus jeder Zeile vor die Determinante:$$D=2x\cdot2y\cdot2z\left|\begin{array}{rrc}0 & 1 & y^2\\0 & 1 & x^2\\2 & -1 & 1\end{array}\right|=16xyz(x^2-y^2)=16xyz(x-y)(x+y)\stackrel!=0$$

Diese Lagrange-Bedingung führt uns auf 5 mögliche Nullstellen:$$x=0\;;\;y=0\;;\;z=0\;;\;y=\pm x$$

In einer Fallunterscheidung kannst du diese 5 Fälle nun in die Nebenbedingungen einsetzen und so die Koordinaten der Extrema bestimmen.

Comments

Ach Mist...

Dann machts mehr Sinn, danke dir!

Answer 2

In Deinen Gleichungen steht ein paar mal \(=\), wo \(+\) stehen müsste, und Klammern fehlen teilweise (und das ohne Klausurstress?!).

Insb. lautet III: \(0=2z-2z\lambda_1=2z(1-\lambda_1)\).

Also folgt \(z=0\) oder \(\lambda_1=1\). Damit dann weiter.