Nehmen Sie begründet Stellung

Question

Text erkannt:

Zentrale Abiturprüfung 201
Aufgabenteil B: Hilfsmittel GTR
Aufgabe 2 - Analysis (Fortsetzung)
Punkte
2.2.1 Berechnen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn, den Wearables Ltd. mit dem Verkauf der Datenbrille o-look erzielen kann, sowie den Verkaufspreis, bei dem der maximale Gewinn erreicht wird.
8
2.3 Die Gläser der Datenbrille o-look werden zur Entspiegelung mit einer Spezialflüssigkeit besprüht. Diese befindet sich in einem Behälter, der zum Zeitpunkt \( t=0 \) mit 5 Litern Flssigkeit gefült ist. Durch den Verbrauch sinkt die Flüssigkeitsmenge im Behälter und muss daher wieder aufgefüllt werden.
Entnahme und Zuführung der Flüssigkeit geschehen nicht gleichzeitig.
Der Zu-bzw. Abfluss der Flüssigkeit wird modelhaft beschrieben durch die Funktion der Form \( f(t)=0,1 \cdot t^{4}-5,2 \cdot t^{3}+85,2 \cdot t^{2}-432 \cdot t \) mit \( 0 \leq t \leq 24 \) Dabei ist \( t \) die Uhrzeit in Stunden und \( f(t) \) die \( \mathrm{Zu} \) - bzw. Ablaufrate der Flüssigkeit in Milliliter pro Stunde \( \left(\frac{\mathrm{ml}}{\mathrm{h}}\right) \).
Im Folgenden ist der Graph von \( f \) dargestellt.
Nehmen Sie begründet Stellung zu folgenden Aussagen:
2.3.1 Zu den Zeitpunkten 10 Uhr und 18 Uhr wird weder Flüssigkeit aufgetragen noch in den Behälter nachgefüllt.
2.3.2 Innerhalb der ersten 12 Stunden werden \( 4008,96 \mathrm{ml} \) der Flüssigkeit entnommen.
2
2
2.3.3 Zu keinerZeit innerhalb der 24 Stunden wird die Mindestfüllmenge des Behälters von \( 800 \mathrm{ml} \) unterschritten.
2
2.3.4 Für ein Brillenglas werden \( 4 \mathrm{ml} \) dieser Spezialflüssigkeit benötigt. Von 19 bis 23 Uhr sind insgesamt 181 Brillengläser besprüht worden.
2

Ich verstehe nicht die Nummer 2.3.3 und 2.3.4, könnte mir das jemand erklären bitte

Answer 1

2.3.3
F(t) = 0.02·t^5 - 1.3·t^4 + 28.4·t^3 - 216·t^2
F(10) - F(0) = -4200
Die 800 ml werden nicht unterschritten. Auch später nicht, da im Intervall [10 ; 18] mehr Flüssigkeit aufgefüllt wird als im Intervall [18 ; 24] verbraucht wird.

2.3.4
F(23) - F(19) = -711.92
711.92/4 = 177.98
Es können höchstens 178 Brillengläser besprüht worden sein und eines nicht mal ganz vollständig.

Comments

aber warum muss man die Stammfunktion nehmen?

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Weil \(f\) nur den Zufluss beschreibt und nicht die Füllmenge.

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Besser Zuflussgeschwindigkeit statt Zufluss.

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woran erkennt man das denn?

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Die Funktionswerte des gegebenen Graphen haben die Funktionswerte in ml/h. Das kannst du so nicht ohne weiteres mit ml vergleichen?

Das eine ist eine Füllgeschwindigkeit und das andere ist eine Füllmenge.

Wir müssen also ausrechnen, welche Füllmenge ab- oder zufließt, um die Aufgabe beantworten zu können.

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achso also f gibt nur die Geschwindigkeit und F die Menge

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Genau. Hier mal die beiden Funktionen in einem Koordinatensystem. Achtung ich habe hier jetzt eine andere Stammfunktion genommen, die auch noch die gegebene Anfangsmenge (5 Liter) beschreibt.

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In den Lösungen steht das so,

aber ich verstehe es nicht

Text erkannt:

Lösungen - Zentrale Abiturpröfung \( \mathrm{ZO}_{17} \) Aufgabenteil B: Hiltsmittel GTR
Aufgabe 2 - Analysis
2.2.1 Gewinnfunktion
Soing \( 2 / 3 \)
\( \begin{array}{l} G(x)=E(x)-K(x)=D(x)+x-K(x) \quad \text { seite } 2 / 3 \\ =0,02 x^{3}-1,75 x^{2}+73 x-\left(0,06 x x^{3}-1.8 x^{2}+25 x+200\right. \text { ) } \\ G(x)=-0,04 x^{3}+0,05 x^{2}+48 x-200 \quad \\ G \text { winnzone } \end{array} \)

Gewinnzone
Bedingung: \( \mathrm{G}(\mathrm{x})=0 \)
\( x_{1} \approx 4,21 ; x_{2} \approx 33,01 \)
\( \left(x_{3} \approx-35,97\right. \) ist 8konomisch nicht relevant)
(Dositive Losungen)

Größtmöglicher Gewinn
Hinreichende Bedingung: \( \mathrm{G}^{\prime}(\mathrm{x})=0 \wedge \mathrm{G}^{\prime \prime}(\mathrm{x})<0 \)
\( \begin{array}{ll} G^{\prime}(x)=-0,12 x^{2}+0,1 x+48 ; G^{\prime \prime}(x)=-0,24 x+0,1 \\ G^{\prime}(x)=0 & x_{1} \approx 20,42 \quad\left(x_{2} \approx-19,59\right. \text { int } \end{array} \)
\( G^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)<0 \quad x_{1} \) ist Maximalstelle
Maximaler Gewinn: \( G\left(x_{1}\right) \approx 460,42 \) Der maximale Gewinn beträgt ca. 460,42 GE
Verkaufspreis: \( p(20,42) \approx 45,6 \)
Bei einem Preis von 45,6 GE/ME kann der maximale Gewinn erzielt werden.
2.3.1 Diese Aussage ist richtig. Im Graph kann man erkennen, dass in \( t=10 \) und \( t=18 \)
(Uhr) die Nullstellen der Zulauf-bzw. der Ablaufratenfunktion liegen.
2.3.2 Zur Prüfung wird das bestimmte Integral berechnet.
Nur in den ersten 10 Stunden wird Flüssigkeit entnommen:
\( \int \limits_{0}^{10} f(t) d t=-4200 \)

Die Aussage stimmt nicht, denn es werden \( 4200 \mathrm{ml} \) der Flüssigkeit entnommen.
2.3.3 Es ist zu prüfen, ob zu jeder Zeit des Tages mindestens 800 ml im Behälter sind.
Die zugehörige Stammfunktion von \( f \) gibt die Füllhöhe zu jedem Zeitpunkt \( t \) an.
Mit dem Anfangsbestand \( 5000 \mathrm{ml} \) ergibt sich:
\( F(t)=0,02 t^{5}-1,3 t^{4}+28,4 t^{3}-216 t^{2}+5000 \)

Mit dem GTR ist grafisch zu erkennen, dass für \( 0 \leq t \leq 24 \) gilt: \( F(t) \geq 800 \)
Wenar-Nv: 0447

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wie kommen die auf 5000, und was sollen diese 5000 heißen?

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Und Nummer 2.3.4.) Ist auch falsch

Text erkannt:

194
Zentrale Abiturprüfung 2017
Lösungen - Zentrale Abiturprüfung 2017
Aufgabenteil B: Hilfsmittel GTR
Aufgabe 2 - Analysis
Seite \( 3 / 3 \)
2.3.3 Alternativ: Anfangsbestand \( 5000 \mathrm{ml} \); Entnahme bis \( t=10: 4200 \mathrm{ml} \), also Stand in \( t=10: 800 \mathrm{ml} \); von \( t=10 \) bis \( t=18 \) wird mehr aufgefüllt als von \( t=18 \) bis \( t=24 \) entnommen wird. Die Mindestfüllmenge von \( 800 \mathrm{ml} \) ist erfüllt.
2.3.4 Wenn 181 Brillengläser in diesem Zeitraum ( \( t=19 \) bis \( t=24 \) ) besprüht wurden, dann müssten \( 4 \cdot 181=724 \mathrm{ml} \) der Spezialflüssigkeit verbraucht worden sein. \( \int \limits_{19}^{24} f(t) d t=-711,92 \)
Somit ergibt sich ein Verbrauchswert von ca. \( 711,92 \mathrm{ml} \). Damit ist die Aussage falsch.

Aufgabe 3
Lineare Algebra (32 Punkte) Seite \( 1 / 3 \)
3.1.1 Matrix \( C \) gibt den direkten Bauteile-Verbrauch an: \( C=\left(\begin{array}{lll}8 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
Ansatz: \( A_{B Z} \cdot B_{Z S}+C=D \)
\( D=\left(\begin{array}{lll} 25 & 67 & 64 \\ 17 & 74 & 84 \\ 10 & 26 & 29 \end{array}\right) \)

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Und Nummer 2.3.4.) Ist auch falsch

Ich verstehe nicht den Sinn dieses Kommentars. Das ist doch genau der Sinn der Antwort vom Mathecoach. Er hat dir vorgerechnet, warum die Aussage falsch ist.

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Wieder ein gutes Beispiel dafür, wie sinnvoll vollständige Lösungen sind, vor allem, wenn sie so gut wie unkommentiert sind. Es wird mal wieder nicht nachgedacht und verstanden, wie man dorthin kommt.

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wie kommt man denn auf die 5000 in der Stammfunktion

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Weil zu Beginn 5 l = 5000 ml Flüssigkeit enthalten sind...

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vielen Dank, man schaut ja, ob die Füllmenge unterschritten worden ist, schaut man sich auch die Grenzen zwischen 18 und 24 ebenfalls an?

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Das wurde doch alles in der Antwort oben erklärt. Welche Schlussfolgerung liefern denn die beiden anderen Teilflächen?

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Ja entschuldige, ich habe meine Frage nicht gut formuliert. Ich meinte damit, ob ich in der Klausur ebenfalls beweisen muss, dass diese Füllmenge zwischen den Grenzen 24 und 18 nicht unterschritten wird oder es einfach reicht den Satz von oben zu schreiben, also dass es sich logisch davon ableiten lässt.

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Du sollst ja begründet Stellung nehmen. Da reicht es, als Argument anzuführen, dass die eine Fläche größer als die andere ist.

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ja okay dankeschön euch alle