Zeigen Sie, dass es sich bei * um die übliche Multiplikation handelt, d.h.

Question

Aufgabe:

Wir bezeichnen mit + die übliche Addition auf der Menge \( \mathbb{Q} \) der rationalen Zahlen.
Es sei \( *: \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass \( (\mathbb{Q},+, *) \) ein Körper ist, mit der rationalen Zahl \( 1 \in \mathbb{Q} \) als neutralem Element für die Multiplikation (d.h. \( 1 * q=q \forall q \in \mathbb{Q} \) ). Zeigen Sie, dass es sich bei \( * \) um die übliche Multiplikation handelt, d.h. \( p * q=p \cdot q \) für alle \( p, q \in \mathbb{Q} \). (Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall \( p \in \mathbb{Z} \).)

Problem/Ansatz:

Hallo, funktioniert die Beweisführung dann so, dass man zeigt das 1 auch bei der multiplikation das neutrale element ist und dann nur noch invers und kommutativ zeigen? Was ich nicht verstehe ist wieso wir p aus Z benötigen

Answer 1

dass man zeigt das 1 auch bei der multiplikation das neutrale element ist und dann nur noch invers und kommutativ zeigen?

Das brauchst du nicht zu zeigen, weil \( (\mathbb{Q},+, \cdot) \) bekanntermaßen und \( (\mathbb{Q},+, *) \) nach Voraussetzung Körper sind.

Zeigen Sie ... \(p∗q=p\cdot q\) für alle \(p,q\in \mathbb{Q}\)

In diesem Satz steht, was du beweisen musst.

wieso wir p aus Z benötigen

Benötigen wir nicht. Hinweise sind unverbindlich, sie dürfen ignoriert werden.