Aufgabe zur Analysis: Normierte Räume

Question

Hallöchen zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Betrachten Sie
\(A:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}, x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 1\right\}, \quad V:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\}\)

Geben Sie an und begründen Sie:
(i) Ist \( A \) in \( \left(\mathbb{R}^{3},\|\cdot\|_{2}\right) \) abgeschlossen?
(ii) Was sind \( \partial A, \operatorname{int}(A) \) und \( \bar{A} \) in \( \left(\mathbb{R}^{3},\|\cdot\|_{2}\right) \) ?
(iii) Ist \( \left(V,\|\cdot\|_{2}\right) \) ein normierter Raum?
(iv) Ist \( A \) in \( \left(V,\|\cdot\|_{2}\right) \) abgeschlossen?
(v) Was sind \( \partial A, \operatorname{int}(A) \) und \( \bar{A} \) in \( \left(V,\|\cdot\|_{2}\right) \) ?

Über Tipps und Ideen würde ich mich sehr freuen!

Vielen Dank schonmal im Voraus:)

Comments

Vorab: Hier ist \(||\cdot|_2\) nicht explizit angegeben. Das musst du nachtragen. (i) geht z. B. so:

(i) Definiere \(f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, \, (x_1,x_2,x_3)\mapsto x_1^2+x_2^2\), dann kannst du die Menge \(A\) als Urbild von der abgeschlossenen Menge \((-\infty,1]\) unter \(f\).

Hinweis: \((-\infty,1])\) ist abgeschlossen, da das Komplement \((1,\infty)\) offen ist.

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Es wäre f(0,0,1)=0, aber (0,0,1) nicht in A - oder?