Eines der Kolmogorov-Axiome lautet: Wenn \(A\) und \(B\) disjunkt sind, dann ist
\(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\).
Wenn x impliziert y
Üblicherweise werden Mengen verwendet um Ereignisse zu beschreiben, nicht Aussagen. In der Mengenlehre würde man das dann durch
\(x\subseteq y\)
ausdrücken.
Die Mengen \(x\) und \(y\setminus x\) sind disjunkt. Also gilt
\(P(x\cup(y\setminus x))=P(x) + P(y\setminus x)\).
Außerdem ist \(x\cup (y\setminus x) = y\) wegen \(x\subseteq y\). Also gilt
\(P(y) = P(x) + P(y\setminus x)\).
Wegen \(P(A) \geq 0\) für alle \(A\) (ein weiteres Kolmogorov-Axiom) folgt dann
\(P(y) \geq P(x)\)
aufgrund der Verträglichkeit von \(\geq\) mit der Addition (siehe Axiome für angeordnete Körper).
