Aufgabe:Aussagen überprüfen

Question

Hallo:

Überprüfen Sie die folgenden Aussagen. (beweisen Sie die Aussage oder geben Sie ein Gegenbeispiel an)

a) Zwei Vektoren u,v ∈ V , mit u≠0 und v≠0 , sind genau dann linear abhängig, wenn es ein λ ∈ |K mit u=λv gibt.

b) Drei Vektoren u,v,w ∈ V sind genau dann linear unabhängig, wenn {u,v},{v,w} und {w,u} linear unabhängig sind.


Habe leider gar keine Idee, wie ich das hier beweisen soll.

Answer 1

a) Sind u, v linear abhängig, gibt es nach Definition ein $$\lambda \in \mathbb{ K } \neq 0$$ mit $$u - \lambda v = 0 \Leftrightarrow u = \lambda v$$. Gibt es ein $$\lambda \in \mathbb{ K }$$ mit $$u = \lambda v \Leftrightarrow u - \lambda v = 0$$, dann kann Lambda nicht 0 sein, weil u und v ungleich 0 sind. Also gibt es eine nicht-triviale Lösung und damit sind die Vektoren linear abhängig. Die erste Aussage stimmt also.