Wie berechne ich das Integral von: x^3/((x+1)(x²+1))?

Question

also ich soll den Stammfunktion von der obige funktion finden und ich komm einfach nicht klar. nach https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+%28x%5E3%2F%28%28x%2B1%29%28x%C2%B2%2B1%29%29%29

soll ich erst mal den polynom oder long division ausführen und dass klappt einfach nicht. kann jemand mir bitte helfen? danke.

Answer 1

Ja. Zuerst die Polynomdivision und danach die Partialbruchzerlegung. Anschließend noch eine Integration über Substitution, weil du "x^2 + 1" im Nenner hast.

Poynomdivision ergibt
--> https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

f(x) = 1 - (x^2 + x + 1)/(x^3 + x^2 + x + 1)

Partialbruchzerlegung ergibt
--> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

f(x) = 1 - (0,5/(x + 1)  + 0,5x/(x^2 + 1) + 0,5/(x^2 + 1))
f(x) = 1 - 0,5/(x + 1)  - 0,5x/(x^2 + 1) - 0,5/(x^2 + 1)

Jetzt alle Summanden Integrieren

F(x) = x - 0.5*ln(x + 1) - 0.25*ln(x^2 + 1) - 0.5*arctan(x)

Comments

Die Seiten die ich zitiert habe helfen nach Eingabe bei jedem Schritt der Umformung und erklären es sehr gut und ausführlich.

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danke dein antwort ist richtig, aber du hast ein paar vorzeichen fehler. mein polynom division ist auch richtig, aber wo kriegst du denn 0,5 x / (x²+1). also wie kommst du auf dem 0,5x

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laut die seite hier ist das das antwort. stimmt auch mit meins also ich habe ein paar teile schon rausgekriegt, die vorzeichen sind halt nur anders bei dir. https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+%28x%5E3%2F%28%28x%2B1%29%28x%C2%B2%2B1%29%29%29

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oops...sorry ich habe's verstanden danke...