Partialbruchzerlegung: Probleme bei einigen Aufgaben. Bsp: (18x^2 + 7x + 44) / ( (2x^2 + 5x + 7)(2x - 3) )

Question

ich habe hier einige Aufgaben zur Partialbruchzerlegung, wo ich nicht weiterkomme.

1) (-x + 8) / (6x^2-x-1)

Ich habe für den Nenner die Nullstellen gefunden, aber die Linearfaktoren stimmen nicht mit der ursprünglichen Gleichung zusammen. Muss ich erst den Koeffizienten von x^2 ausklammern bzw. ihn später wieder dazuschreiben? Wenn ja, warum?

 
2) (18x^2 + 7x + 44) / ( (2x^2 + 5x + 7)(2x - 3) )

Da ich im reellen Zahlenbereich bin, kann ich die Nullstellen der quadratischen Gleichung nicht finden. Mit dem Koeffizientenvergleich und dem Einsetzen von speziellen x-Werten kam ich nicht weiter. Ich weiss schon, dass die Lösung, da ein quadratischer Term dabei ist, den Ansatz Ax+B / (x^2...) + C / (2x-3) sein muss, aber irgendwie bekam ich nur C und B richtig raus, A lag aber völlig daneben.

Kann mir jemand helfen und die Aufgaben mal vorrechnen?

Danke,

 

Thilo

Answer 1

(-x + 8) / (6x^2-x-1)

Ich versteh nicht genau, was du meinst. Erst faktorisiert man hier den Nenner. Die 6 kann man da nicht einfach rausnehmen.

Ich mach das mal für das erste Beispiel:

(-x + 8)/((2x-1)(3x+1)   = A / (2x-1)  + B/(3x+1)       |* Hauptnenner

- x + 8 = A(3x+1) + B(2x-1) = 3Ax + A + 2Bx - B

Daraus 2 Gleichungen ablesen

8 = A - B           → B = A-8

-1 = 3A + 2B          B einsetzen: -1 = 3A + 2(A-8) = 5A - 16

15 = 5 A

A = 3

B = 3 - 8 = -5

 

(-x + 8) / (6x^2-x-1)  = 3/(2x-1) - 5/(3x + 1)

Ich hoffe, dass ich deine Frage beantwortet habe.

Bei deinem zweiten Beispiel muss 2x als Summand im Nenner auch drinn bleiben. Ansonsten sollte das gleich funktionieren. Ich komme da auf:

(18x^2 + 7x + 44) / ( (2x^2 + 5x + 7)(2x - 3) ) = (4x-3)/(2x^2 + 5x + 7)  + 5/( 2x -3)

 

Comments

hm wie hast du denn bei 1) den Nenner in Linearfaktoren zerlegt?

---

Beachte: (ax+b)(cx + d) = ac x^2 + (ad + bc)x + bd

Ich betrachte den ersten 6 = 1*6 oder 2*3 und des letzen Summanden - 1 = (-1)*1.

Und probiere : (6x^2-x-1) = (?3x + ?1)(?2x +  ?1) oder (?6x + ?1)(?x +  ?1)

Da sieht man schnell, dass (2x-1)(3x+1) passt.

Du kannst auch die Nullstellen, die du berechnet hast einsetzen.

Falls: x1 = 1/2 und x2 = -1/3

Ansatz (x-1/2)(x+1/3) das beginnt aber mit x^2 statt mit 6x^2

Also einfach einen Faktor 6 davor schreiben

6 (x-1/2)(x+1/3) = 6((2x-1)/2)*(3x+1)/3   und jetzt 6 mit 2 und 3 kürzen.

------>(2x-1)(3x+1) 

---

Ok, vielen Dank, habe es jetzt verstanden ;)