Taylorreihe für e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + z^4/4! + ...
Taylorreihe für sin z = z - z^3/3! + z^5/5! - ...
Taylorreihe für cos z = 1 - z^2/2! + z^4/4! - z^6/6! + ...
Die sollten bekannt sein.
Wenn man jetzt bei e^z für z = it, also eine rein imaginäre Zahl einsetzt und die Taylorreihe entwickelt, ergibt sich
e^it = 1 + it + (it)^2/2! + (it)^3/3! + (it)^4/4! + ...
In den Zählern kommen also aufsteigend Potenzen von i vor, wobei
i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i ... ist
Daher e^it = 1 + it - t^2/2! - i(t^3/3!) + t^4/4! + i(t^5/5!) - ...
Man kann jetzt alle Terme mit i ausklammern:
e^it = (1 - t^2/2! + t^4/4! - t^6/6! + ...) + i(t - t^3/3! + t^5/5! - ...)
Da sieht man, dass (1 - t^2/2! + t^4/4! - t^6/6! + ...) die Taylorreihe für cos t ist und (t - t^3/3! + t^5/5! - ...) die für sin t.
Also e^it = cos t + i * sin t