Question

Summenzeichen zerlegen / auflösen:

\( \sum \limits_{i=1}^{10}\left(4 i^{3}-6 i\right)=4 \sum \limits_{i=1}^{10} i^{3}-6 \sum \limits_{i=1}^{10} i=4 \cdot \frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}-6 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}=11.770 \)

Ansatz:

Den ersten Schritt verstehe ich, jedoch nicht den Letzten. Wo kommen die 10^2 * 11^2 her und weshalb wird es durch 4 geteilt? Und weshalb (10 * 11) /2.

Das Summenzeichen wurde aufgelöst, aber ich kenne die Regel nicht.

Answer 1

das sind durch vollständige Induktion beweisbare Summenformeln, die erste ist die Summenformel für kubische Zahlen

$$ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^2 \cdot (n+1)^2}{4} $$

und die zweite die Summenformel für natürliche Zahlen von 1 bis n auch bekannt als kleiner Gauß

$$ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n \cdot (n+1)}{2} $$

Gruß