Wie skizziere ich offene Kugeln im metrischen Raum?

Question

Aufgabe:

Wir definieren eine Abbildung \( d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch

\( d\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right):=\left\{\begin{array}{ll} \left|y_{1}-y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1}=x_{2} \\ \left|y_{1}\right|+\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1} \neq x_{2} \end{array}\right. \)

Skizzieren Sie die Kugel \( B_{1}((2,2)), B_{2}((2,2)), B_{3}((2,2)) \) und \( B_{4}((2,2)) \) in dem metrischen Raum \( \left(\mathbb{R}^{2}, d\right) \).

Hierbei ist d eine Metrik auf ℝ^{2}.

Ansatz/Problem:

Ich verstehe nicht ganz, was ich genau machen soll. Bedeutet das einfach, dass ich 4 Kreise skizzieren sollen, welche alle um den Mittelpunkt (2,2) liegen und jeweils einen Radius von 1,2,3 und 4 haben?

Comments

Deine Fragestellung ist unvollständig. Ich rate mal:

d könnte auch der Durchmesser sein.

Hast du irgendwo eine allgemeine Angabe zu B mit einem tiefgestellten r, das explizit für Radius steht?

B_r ((M_x, M_y)) ?

Wenn das "offene Kugeln" sein sollen, zeichnest du den Kreis gepunktet und färbst das Innere des Kreises mit einer andern Farbe als den Rand.

---

https://www.mathelounge.de/227116/wir-definieren-eine-abbildung-d-ℝ-2-ℝ-2-→-ℝ-durch?show=227122#c227122

scheint eine Fortsetzung von dem hier zu sein.

Ist das möglich?

---

Ja genau, das ist eine weitere Aufgabe zwischen 1 und 2 aus dem Link :)

Wenn ich es richtig verstanden habe, sollten das offene Kugeln sein.

Definition: Sei X ein metrischer Raum mit Metrik d. Für a ∈ X und r > 0 definieren wir die offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r als B_r(a) = {x ∈ X | d(a, x) < r}

---

Mit dieser Metrik beschreiben offene Bälle um Punkte ja offensichtlich keine Kreise. Versuchs doch erstmal mit einem Ball (dem mit Radius 1 zum Beispiel).

---

Vierter Teil: https://www.mathelounge.de/228326/haufungs-und-beruhrpunkte-x1-y1-y1-x1-x2-y2-falls-x1≠x2-ab-teil

Answer 1

für die erste "Kugel"brauchst du alle Punkte, die von (2,2) in dieser Metrik

weniger als 1 entfernt sind. Für Punkte mit x-Wert 2 sind das alle

auf der Strecke (ohnen Endpunkte) von (2,1) bis (2,3) wegn

der Def. für x1=x2.

Ist aber der x-Wert eines Punktes nicht 2, dann ist ja bei

|y1|+|x2-x1|+|y2| schon der erste Summand gleich 2, also gibt

es in diesem Fall keine Punkte , die weniger als 2 von (2,2) entfernt

sind. Die ganze "Kugel" ist die genannte Strecke.

Bei Radius 2 ist es ähnlich, denn für x ungleich 2 ist der Abstand eines Punktes

von M immer > 2, also wieder die Strecke, nur diesmal von (2,0) bis (2,4)

bei r=3 wird es schon spannender. Erst mal die Strecke von (2,-1) bis (2,5) aber

dann auch noch Punkte mit x ungleich 2 und zwar solche mit

d( (2,2), (x,y) ) < 3

2 + |x-2| + |y| < 3

|x-2| + |y| < 1

|x-2|  < 1- |y|

damit das überhaupt geht, muss |y| < 1 sein

und dann muss noch       |x-2|  , also der Unterschied zwischen x und 2

kleiner sein als dieses 1- |y|

z.B. für |y|=0,8 kann zwischen 1,8 und 2,2 liegen

oder für |y|=0,5 kann zwischen 1,5 und 2,5 liegen

oder für |y|=0,3 kann zwischen 1,3 und 2,7 liegen  etc.

Ich versuche mal B3 zu zeichnen:

Comments

Vielen Dank :D

Jetzt habe ich es hoffentlich verstanden. Ich wusste nicht wie man den Punkt (2,2) der "Kugel" in Bezug auf die Metrik verwendet.

Bei r = 4 sollte das dann doch eigentlich genau wie bei r = 3 sein, nur dass man jetzt eine "Raute" hat, welche den Radius 2 um den Mittelpunkt (0,2) geht. Die Raute sollte dann die Eckpunkte (0,0) , (2,2) , (2,-2) und (0,4) haben oder? Weil der Abstand von (2,2) mit der Metrik kleiner als 4 sein soll.

---

Alle Kugeln sind aber ohne Randpunkte laut der Definiton der Kugel oder?

---

genau, daher auch das Attribut "offen"

---

@mathef  Hi, übe gerade das Thema Metriken und bin auf diese Aufgabe gestoßen. Würde dich bitten kurz  folgende Fragen zu beantworten: Ist die Zeichnung zu B₄((2,2)) richtig?

d((2,2),(x₂,y₂))

Fall 1  x_1=x_2: -2<y₂<6

Fall 2  x_1 ungleich x_2:  |2-x₂|<2-|y₂|, also |y₂|<2

Ich weiß, die Zeichnung ist miserabel :D Ist nun die Kugel gleich der Strecke von -2 bis 6 plus die inneren Punkte innerhalb des rot markierten Bereich der die Form einer Raute hat?

Gibt es auf der Strecke -2 bis -6 Randpunkte, wenn ja, könnten diese doch gar nicht zur Kugel gehören oder? Also -2 und -6 gehören definitiv nicht dazu, aber warum ist der Rest auf der Strecke kein Randpunkt, nur wegen der angegebenen Definiton des Abstands? Ist eine so kontraintuitive Definition des Abstands überhaupt sinnvoll?

Kann man sagen, dass -2<y_2<6 die inneren Punkte auf der Strecke darstellen und die Strecke eine Teilmenge der Kugel darstellt?

 

Kann dir dann leider nur einen Daumen geben bzw. tue es gleich so oder so :)