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Ich verstehe die Aufgabe nicht und kann sie nicht lösen,

könnte sie jemand vorrechnen?

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Lucas

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Ich verstehe die Aufgabe nicht

Was genau ist unklar ?

Vorrechnen ist hier völlig sinnlos - in diesem Stadium des fortgeschrittenen Wissenserwartungshorizontes ist es nicht mehr möglich, die Matheklausuren durch Auswendiglernen zu bewältigen.

4 Antworten

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Hi,
zu (a)
löse zuerst das Gleichungssystem


\( (1-c \cdot y_1) \cdot y_1-y_1 \cdot y_2 = 0  \) und
\( -y_2 + y_1 \cdot y_2 = 0 \)


Dann bekommst Du 3 Gleichgewichtspunkte.

zu (b)
Linearisiere das obige Gleichungssystem und berechne die Linearisierung an den Gleichgewichstpunkten

zu (c)
Berechne jeweils die Eigenwerte an den Gleichgewichtspunkten. Wenn der Realteil des Eigenwertes \( < 0 \) ist, liegt asymtopische Stabilität vor.

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Wie meinst du das?

Ich habe doch nur 2 Gleichungen und 3 Unbekannte..

Gruß

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Ist doch kein lin. Gl.system, geht so:

-y2 + y1 * y2 = 0 gibt  y2 * ( - 1 + y1 ) = 0 also 

                                  y2=0   oder   y1=1

 in die erste   y2=0  einsetzen:

(1 - c*y1) * y1 - y1*0 = 0

(1 - c*y1) * y1 = 0

y1= 1/c   oder   y1 = 0

also hast du schon mal 2 Punkte ( 1/c  ;   0)   und  ( 0  ;  0  )

 in die erste   y1=1  einsetzen:

( 1-c*1)* 1 -  1 * y2 = 0

1-c   =  y2     also ist der dritte Punkt  (  1  ;   1-c  )

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         y1  (  1  -  c  y1  -  y2  )  =  0     (  1a  )

                     y2  (  y1  -  1  )  =  0     (  1b  )


      In (1b )  hast du zwei Lösungen; ich notiere sie durch Semikolon ( oder soll ich sagen "  Strichpunkt " ?)


                    y1;1  =  1  ;  y2;2  =  0        (  2  )


       Es handelt sich nämlich um zwei verschiedene Lösungen, die " nichts voneinander wissen " ; nicht etwa um zwei Koordinaten eines  iNdentischen Punktes P . Wir ermitteln jetzt P1 , indem wir y1;1 in ( 1a ) einfüttern:


         1  -  c  -  y2  =  0  ===>  y2;1  =  1  -  c  ===>  P1  =  (  1  |  1 - c  )      (  3  )


     Jetzt y2;2 in ( 2 )


          y1  (  1  -  c  y1  )  =  0  ===>  P2  =  (  0  |  0  )  ;  P3  =  (  1/c  |  0  )     (  4  )


     Zu b) ; ich hab extra nochmal in Wiki nachgesehen; ich will euch nicht dumm sterben lassen ===> Ljapunov Es handelt sich darum, die Jacobimatrix aufzustellen.


     f  (  y1  ;  y2  )  =  -  c  y1  ²  -  y1  y2  +  y1     (  5a  )  

     g  (  y1  ;  y2  )  = y1  y2  -  y2       (  5b  )

                     f_y1  =  -  2  c  y1  -  y2  +  1      (  6a  )

                     f_y2  =  -  y1     (  6b  )

                   g_y1  =  y2     (  6c  )

                   g_y2  =  y1  -  1     (  6d  )


     Beginnen wir mit dem einfachsten Fall; P2  .  Hier sind die im Vorteil, die brav ihre ===> Paulimatrizen gelernt haben; es gilt


            d  ( f ; g ) / d ( y1 ; y2 )  (  P2  )  =  S3     (  7  )


     Mit Plus eins ist ein positiver Eigenwert dabei; instabil .  Jetzt  P1



         - c       - 1

    1 - c         0


    Hier ich kenn euch ja. Für die Eigenwerte zu berechnen, seid ihr euch nicht zu schade, die Mitternachtsformel zu missbrauchen. Ginge es nach euren Lehrern, würde niemand mehr etwas anderes verwenden. Schauen wir uns erst mal die Determinante der Jacobimatrix J an :


        det  (  J  )  =  1  -  c  >  0    (  8a  )


     Jetzt hast du aber allgemein


     det  (  J  )  =  E1  E2    (  8b  )


       Drei Alternativen stehen zur Auswahl; ich habe übrigens gar nicht nötig zu untersuchen, welcher wann warum eintritt:

       1 ) zwei komplex ( konjugierte ) Eigenlösungen;   det  (  J  ) =  | E | ²

       2) zwei  positive reelle Eigenwerte

      3) zwei negative reelle Eigenwerte


     Jetzt wende ich mich der  Spur zu:


      Sp  (  J  )  =  E1  +  E2  =  -  c    (  8c  )


     Die Spur ist quasi unsere Diskriminante; sind beide Eigenwerte reell , so erfahren wir, dass sie negativ sein müssen. Eine analoge Argumentation hast du aber auch im Komplexen; denn analog ( 8c ) gilt


         Sp  (  J  )  = 2  Re  (  E  )     (  8d  )


    Das System ist stabil. Mal sehen, was P3 macht.



           - 1        - 1 / c

             0         1/c - 1


    Diesmal ist die Determinante negativ wegen c  <  1  Damit sind uns mit ( 8b ) zwei entgegen gesetzte reelle Eigenwerte sicher ===> instabil .

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      Nämliche Aufgabe habe ich eben gelöst; Spaß daran wirst du allerdings nur haben, wenn du dich für DGLS begeisterst und meine Kniffe zu schätzen weißt.

    Zugegeben; jeder hat andere Schw#ächen. Im ersten Semester waren mir z.B. Eigenwerte völlig fremd; die lockere, hemdsärmelige kumpelhafte Herangehensweise von ===> Herbert Goldsteins Mechanikband hat mir damals über die Anfangsschwierigkeiten hiweg geholfen. Hier also der Link


https://www.mathelounge.de/248481/rauber-beute-modell-stabilitat

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  Es ist übrigens gleich die erste Frage ganz oben auf dieser Seite; musst nur noch drauf klicken ...

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