Im Ernst; ich glaube hier hat niemand die Aufgabe verstanden.
Ich verstehe das so: Komplex differenzierbar = analytisch = holomorph.
Notwendig und hinreichend ist, dass die Cauchy-riemannschen DGL erfüllt sind, welche im Wesentlichen besagen, dass Multiplikation mit einer komplexen Zahl eine ===> unitäre bzw. ===> konforme Abbildung ist.
u = Re ( z ) = exp ( y ) sin ( x ) ( 1a )
v = imag ( z ) = exp ( y ) cos ( x ) ( 1b )
u_x = exp ( y ) cos ( x ) = v_y ( 2a )
u_y = exp ( y ) sin ( x ) = - v_x ( 2b )
Damit ist der Nachweis geführt; jetzt sollten wir das Format umschreiben.
f ( z ) = i exp ( y - i x ) ( 3a )
Nun ist aber
y - i x = - i z ( 3b )
f ( z ) = i exp ( - i z ) ( 3c )