Kreis rollt in Ellipse ab

Question

Kreis rollt in Ellipse ab

$\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix}$ bedeutet nicht anderes als:
$y(t)= a \cdot \sin (\omega t)$
$x(t)= b \cdot \cos (\omega t)$
Die Gleichung mit dem x lösen wir nach kleinomegatee auf:
$\frac{x(t)}{b}= \cos (\omega t)$
$\arccos\left(\frac{x(t)}{b}\right)= \omega t$
und setzen das in die Gleichung mit dem Üpsilong ein:
$y(t)= a \cdot \sin \left(\arccos\left(\frac{x(t)}{b}\right)\right)$
Jetzt ist die Variable t nicht mehr da und die Winkelgeschwindigkeit ist auch verschwunden, also sind Icks und Üpsilong nicht mehr vom Tee abhängig.
$y(x)= a \cdot \sin \left(\arccos\left(\frac{x}{b}\right)\right)$
Ich stelle grad fest, dass ich in meiner Animation a und b genau andersrum verwechselt habe...
Also hier in der Umstellung ist b der horizontale Halbachsenradius auf der Ix-Axe.
Is ja logisch - was passiert denn sonst, wenn das x grösser wird als das b ?
Das Argument wird grösser als 1 und Arcus sagt "Neee"

Kommentiert 25 Aug 2015 von Gast

$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} - \frac {r} { \, \sqrt{ a^2 \cdot \, \cos^2 (\omega t)+ b^2 \cdot \, \sin^2 (\omega t) }}\, \,\cdot \,\begin{pmatrix} b \cdot \, \sin (\omega t)\\ a \cdot \, \cos (\omega t) \end{pmatrix}$

Ist die Formel, um die Bewegung der Achse des innen ablaufenden Rades darzustellen.

Eine Umstellung dieser Funktion in die Form y(x)= ... dürfte kaum machbar und wenig sinnvoll sein.

Die Ellipsengleichung zur Erinnerung nochmal:

$\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix}$

Kommentiert 26 Aug 2015 von Gast

📘 Siehe "Ellipse" im Wiki

3 Antworten

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Gast · Answer 1 · 2015-08-23T17:08:41+0000

"Dies ist aber ein ziemlicher Wust."

Wust ichs doch ... eine CNC Fertigungsaufgabe!

Nehmen wir mal an, die Ellipse liegt im Ursprung und besitzt die Radien a und b.

Dann könnte man die Parameterfunktionsgleichung bilden:

\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix}

und deren Ableitung:

\vec E'(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \omega \, \cos (\omega t)\\ - b \cdot \omega \, \sin (\omega t) \end{pmatrix}

Die Tangentengleichung lautete:

\vec T(t)= \vec E(t) + \lambda \cdot \frac {\vec E'(t)}{|\vec E'(t)|}

Die Normalengleichung:

\vec N(t)= \vec E(t) + \mu \cdot \frac {1} {|\vec E'(t)|} \cdot \begin{pmatrix} y(\vec E'(t) )\\-x( \vec E'(t) ) \end{pmatrix}

Nun könnte der Radius des Planetenrades eingesetzt werden:

\vec R_r(t)= \vec E(t) + \frac {r} {|\vec E'(t)|} \cdot \begin{pmatrix} y(\vec E'(t) )\\-x( \vec E'(t) ) \end{pmatrix}

Kommentiert 23 Aug 2015 von Gast

Scheinbar hat da keiner Lust, das weiterzubedenken - ich finds aber interessant und spinne das mal weiter:
$\vec E(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix}$ $\vec E'(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \omega \, \cos (\omega t)\\ - b \cdot \omega \, \sin (\omega t) \end{pmatrix}$
$\vec R_r(t)= \vec E(t) + \frac {r} {|\vec E'(t)|} \cdot \begin{pmatrix} y(\vec E'(t) )\\-x( \vec E'(t) ) \end{pmatrix}$
$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} + \frac {r} {| \begin{pmatrix} a \cdot \omega \, \cos (\omega t)\\ - b \cdot \omega \, \sin (\omega t) \end{pmatrix}|} \cdot \begin{pmatrix} - b \cdot \omega \, \sin (\omega t)\\ -a \cdot \omega \, \cos (\omega t) \end{pmatrix}$
$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} + \frac {r} {\sqrt{ ( a \cdot \omega \, \cos (\omega t))^2+( - b \cdot \omega \, \sin (\omega t) )^2}} \cdot \begin{pmatrix} - b \cdot \omega \, \sin (\omega t)\\ -a \cdot \omega \, \cos (\omega t) \end{pmatrix}$
$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} + \frac {r} { \omega \, \cdot \, \sqrt{ ( a \cdot \, \cos (\omega t))^2+( - b \cdot \, \sin (\omega t) )^2}} \cdot \begin{pmatrix} - b \cdot \omega \, \sin (\omega t)\\ -a \cdot \omega \, \cos (\omega t) \end{pmatrix}$
$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} + \frac {r} { \omega \, \cdot \, \sqrt{ ( a \cdot \, \cos (\omega t))^2+( - b \cdot \, \sin (\omega t) )^2}}\, \cdot \, (-\omega) \,\cdot \,\begin{pmatrix} b \cdot \, \sin (\omega t)\\ a \cdot \, \cos (\omega t) \end{pmatrix}$
$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} - \frac {r} { \, \sqrt{ ( a \cdot \, \cos (\omega t))^2+( - b \cdot \, \sin (\omega t) )^2}}\, \,\cdot \,\begin{pmatrix} b \cdot \, \sin (\omega t)\\ a \cdot \, \cos (\omega t) \end{pmatrix}$
$\vec R_r(t)= \begin{pmatrix} a \cdot \sin (\omega t)\\ b \cdot \cos (\omega t) \end{pmatrix} - \frac {r} { \, \sqrt{ a^2 \cdot \, \cos^2 (\omega t)+ b^2 \cdot \, \sin^2 (\omega t) }}\, \,\cdot \,\begin{pmatrix} b \cdot \, \sin (\omega t)\\ a \cdot \, \cos (\omega t) \end{pmatrix}$

Kommentiert 25 Aug 2015 von Gast

Moliets · Answer 2 · 2024-10-24T10:44:12+0000

Anfangsellipse $\frac{x^2}{25} +\frac{y^2}{16}=1$

Vorgehensweise: 1.)

blaue Punkte von A bis E. Tangenten an die Ellipse , Normale . Kreise mit Radius $r=1$ ergeben die Punkte F bis J. Kegelschnitt durch diese 5 Punkte ergibt die blaue Ellipse $-3385,71x^2-5,3xy-6000,37y^2+24,95x-1,5y=-53937$

2.) gleiche Vorgehensweise mit den Magentapunkten ergibt die Ellipse $-3586x^2-17,73xy-6369,29y^2-94,3x+173,82y=-57201,58$

Auffällig sind nun die unterschiedlichen Funktionsgleichungen. Eine braune Ellipse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ist nun wie das Bild suggeriert identisch mit den vorherigen Ellipsen.

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