f^-1 (f(V )) = V fur alle ¨ V ⊆ X genau dann, wenn f injektiv ist

Question

Beweise:

f ^-1(f(V )) = V fur alle V ⊆ X genau dann, wenn f injektiv ist

Dass das so ist, weiß ich. Aber wie kann ich das mathematisch korrekt beweisen?

Danke

Answer 1

es handelt sich um eine Äquivalenzbeziehung zwischen zwei Aussagen, zeige also das jeweils eine Aussage aus der anderen folgt (generell sagt man, zu zeigen ist die Hin- und Rückrichtung).

Für \( \Rightarrow\) betrachte mal die einelementigen Teilmengen von X.

Für \( \Leftarrow\) brauchst du ja nur zu zeigen, dass \( V \subseteq f^{-1}(f(V))\) für alle Teilmengen \( V \subseteq X \) gilt, da die andere Inklusion schätze ich mal schon bekannt ist.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu!

Erst mal Danke für deine schnelle Antwort! Das mit den zwei Richtungen war mir schon bekannt. Allerdings erschließt es sich für mich leider immer noch nicht...

Was meinst du mit einelementiger Teilmenge von X? Einfach f^-1(f(x))=x ??? Das ist doch kein Beweis oder?

Versteh leider einfach nicht wie ich das als Teilmenge zeigen soll...

Vielleicht kannst du mir ja nochmal eine Erklärung geben, am besten auch mit Notation, dass ich weiß wie man das aufschreibt.

Danke

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Ok (ich mach's mal ausführlich) also in einem ersten Schritt ist zu zeigen, dass

$$ \forall V \subseteq X: f^{-1}(f(V)) = V \Rightarrow f \text{ ist injektiv} $$

Sei also \(x_1, x_2 \in X \) und \(f(x_1) = f(x_2) \). Betrachten wir nun die zugehörigen einelementigen Teilmengen. Die Urbilder von \(f(\{x_1\})\) und \(f(\{x_2\})\) sind natürlich auch gleich, da \(f\) eine Abbildung ist. Mit der Voraussetzung folgt nun, dass \( \{x_1\} = \{x_2\} \) und somit \(x_1=x_2\) womit gezeigt wäre, dass \(f\) injektiv ist.

Versuch dich selbst mal an der Rückrichtung.