f : {1, ....., n} → {1 ,....., m} sei bijektive Abbildung. Zeige, dass m=n gilt

Question

Seien m,n ∈ℕ und f : {1, ....., n} → {1 ,....., m} eine bijektive Abbildung. Zeige, dass m = n gilt.

Wie soll man das beweisen?

Comments

Du sollst n Leute auf m Zimmer verteilen. Inkektiv bedeutet, dass keines doppelt belegt wird, surjektiv, dass keines leersteht.

Answer 1

Zeige:

1. Ist m < n, dann gibt es keine injektive Abbildung.
2. Ist m > n, dann gibt es keine surjektive Abbildung.

Answer 2

Aus der Bijektivität folgt:

Jedes Element aus {1,....,m} wird höchstens ein Element aus {1,....,n} zugeordnet.

Jedes Element aus {1,....,m} wird mindestens ein Element aus {1,....,n} zugeordnet.

Da jedes Element ein Element hat und höchstens ein Element hat, muss die Anzahl an Elementen gleich sein.

Folglich gilt wenn f bijektiv ist muss m = n gelten, da |{1,....,m}| = |{1,....,n}|