Testfunktionen sind unendlich oft stetig differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger. Distributionen sind Funktionale und kriegen als Argument eine Testfunktion übergeben. So wie bei \(f(x)\) das \(x\) die Variable ist, ist dies bei Distributionen \(\varphi\), du musst allgemein rechnen ohne konkretes \(\varphi\). Kleines Beispiel:
Ableitung von \(g(x)=|x|\) im distributionellen Sinne:
$$ T_g'(\varphi)=-\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi'(x) \, dx = -\left( \int_{0}^\infty x\varphi'(x)\, dx + \int_{-\infty}^{0} -x\varphi'(x) \, dx\right) = \int_0^\infty 1\cdot\varphi(x) \, dx + \int_{-\infty}^0 (-1)\cdot \varphi(x) \, dx = \int_{\mathbb{R}} g'(x)\varphi(x) \, dx $$
mit
$$ g'(x)=\begin{cases} 1, & x>0 \\ c, & x=0\\ -1 & x < 0 \end{cases} $$
wobei \(c\in\mathbb{R} \) beliebig gewählt werden kann.
Hier ist jetzt also \(g'\) die Ableitung von \(g\) im distributionellen Sinne, denn es gilt \(T_g'=T_{g'}\).