Ich hab mir letztes Jahr mal einen Notiz gemacht, wie man einen Limes gegen etwas "laufen" lässt. Ich kann mich erinnern, dass das nicht so schwer war, aber irgendwie kann ich mir das daraus nicht mehr herleiten.
Ich weiß, dass man immer für x das einsetzt gegen was das laufen soll und wenn nicht 0 herauskommt, dann ist man fertig... Könnte mir bitte jemand meine Notiz erklären.
\( \begin{aligned} &=\lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right) \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-1-\ln x}{(x-1) \ln x} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x+\frac{x-1}{x}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{x-(x-1)}{x^{2}}} \\ &=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{2} \end{aligned} \)
in meinem ersten Kommentar ( s.oben ) wählte ich ein einfaches Beispiel 1/ ( x - 1 ). Alle meine Ausführungen beziehen sich auf mein Beispiel nicht auf das Beispiel der Fragestellerin. In meinem Beispiel ist bei x = 1 eine Polstelle.
mfg Georg
PS. Durch die auf mich etwas verwirrenden Ausführungen der Fragestellerin " Ich weiß, dass man immer für x das einsetzt gegen was das laufen soll und wenn nicht 0 rauskommt ist man fertig." habe ich keinen Zusammenhang zwischen den Termen gesehen. Ich habe mich zunächst an lim x -> 1 gestört. Der Beantworter der Frage hat den Sachverhalt direkt besser erkannt.
Im ersten Schritt wurden die Quotienten zusammengefasst, im zweiten und dritten Schritt nach der Regel von L'Hospital Zähler und Nenner zweimal abgeleitet und im letzten Schritt der Grenzwert durch Einsetzen von x=1 bestimmt.
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