Zeigen Sie, dass der folgende Weg nicht rektifizierbar ist:

Question

$$ \alpha :\left[ 0,1 \right] \rightarrow { ℝ }^{ 2 },\quad \alpha \left( t \right) =\begin{cases} \left( \begin{matrix} t \\ t\sin { (\frac { 1 }{ t }  } ) \end{matrix} \right),  \\ \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) ,\quad \quad  t=0. \end{cases}  t>0, $$ Könnte einer helfen?

Answer 1

Also das ist relativ einfach. Überlege dir zunächst wie t*sin(1/t) aussieht. 
Wenn du diese Funktion plottest, siehst du dass sie alterniert. 

Leite dann f(x):= x*sin(1/x) ab und finde die Nullstellen. <- Sei vorsichtig die Funktion hat keine einfachen Nullstellen.
Wenn du diese gefunden hast, hast du eine Stückelung Z = (t0,t1,..,tn) gefunden, mit der du zeigen kannst, dass die Menge {L(a,Z)| Z element Z} (Def. 11.4) divigiert, also nicht beschränkt ist. 

Daraus folgt das L(a) = sup {L(a,Z)| Z element Z} nicht existierten kann, also nicht rektifizierbar ist...

Grüße aus der Düsseldorfer Bib :P

Comments

Vielen Dank schonmal. Ich werde es versuchen und mich gegebenenfalls melden.

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die Nullstellen zu finden , bedeutet das , dass die Ableitungen = 0 sein sollen ?

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Ich versuche gerade die Nullstellen der Ableitung zu finden, komme aber nicht weiter.