bei der ersten Reihe kann die untere Grenze nicht 0 sein, weil der Bruch für 0 nicht definiert ist. Deshalb gehe ich davon aus, dass die untere Grenze 1 ist.
2n=k
ak=2*2^k/k
Berechnung mit Cauchy Hadamard:
r=1/lim sup k -->∞ |ak|^{1/k}=1/lim k--> ∞ 2^{1/k}*2/k^{1/k}=1/[1*2/1]=1/2
Test der äußeren Grenzen:
x=±1/2
an=4^n/n*(±1/2)^{2n}=1/n --> Keine (absolute) Konvergenz
b)
an=1/√[n^2+3]
Quotientenkriterium:
r=lim n--> ∞|an/an+1|=lim n-->∞√[(n+1)^2+3]/√[n^2+3]=1
Test der äußeren Grenzen:
x=-1
an=(-1)^n/√[n^2+3] --> konvergiert nach Leibnitz Kriterium, aber nicht absolut, siehe zweiten Fall x=1
x=1: 1/√[n^2+3]>=1/(2*n) --> keine Konvergenz