p(x) = a * x(x+2)(x-2-i)(x-2+i)
= a * (x^2 + 2x) * (x^2 - 2x + ix - 2x + 4 - 2i - ix +2i +1)
= a * (x^2 + 2x) * (x^2 - 4x + 5)
= a * (x^4 - 4x^3 + 5x^2 + 2x^3 - 8x^2 + 10x)
= a * (x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 10x)
p(1) = 12
= a * (1 - 2 - 3 + 10) = 6a
a = 2
p(x) = 2x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 20x
Dies erfüllt zumindest die Bedingungen
p(0) = 0
p(-2) = 0
p(1) = 12
Diese Bedingungen werden von Deiner berechneten Funktion auch erfüllt, nur ist das halt ein Polynom 2. Grades.
Man müsste jetzt durch Einsetzen noch überprüfen, ob
p(2+i) = p(2-i) = 0 gilt.
Das ist mir aber zu aufwändig :-)