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Eine ganzrationale Funktion vierter Ordnung hat im Ursprung eine waagerechte Tangente und im Punkt <-2, 2> einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Welches ist ihre Funktionsgleichung ?
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Zur eindeutigen Bestimmung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades

f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e

werden 5 voneinander unabhängige Informationen benötigt, denn es muss ein Gleichungssystem mit 5 Variablen gelöst werden.

Zunächst bildet man die beiden ersten Ableitungen da man diese später benötigt:

f ' ( x ) = 4 a x 3 + 3 b x 2 + 2 c x + d

f ' ' ( x ) = 12 a x 2 + 6 b x + 2 c

 

Folgende Informationen sind der Aufgabenstellung zu entnehmen:

1) Der Graphen der Funktion geht durch den Urspung, also:

 f ( 0 ) = 0 <=> a * 0 + b * 0 + c * 0 + d * 0 + e = 0 => e = 0

2) Der Graph der Funktion geht auch durch den Punkt ( - 2 | 2 ), also:

f ( - 2 ) = 2 <=> 16 a - 8 b + 4 c = 2   

3) Im Ursprung hat der Graph eine waagerechte Tangent, die Ableitung der Funktion f ( x ) muss also an der Stelle x = 0 den Wert Null haben, also:

f ' ( 0 ) = 0 <=> 4 a * 0 + 3 b * 0 + 2 c * 0 + d = 0 => d = 0

4) Im Punkt ( .- 2 | 2 ) liegt ein Wendepunkt vor, also:

f ' ' ( - 2 ) = 0 <=> 48 a - 12 b + 2 c = 0

5) Im Punkt ( - 2 | 2 ) hat der Graph eine waagerechte Tangente, also (mit d = 0, siehe oben):

f ' ( - 2 ) = 0 <=> - 32 a + 12 b - 4 c + 0 = 0

e = und d = 0 ergeben sich sofort, die Lösung des verbleibenden Gleichungssystems ergibt:

a = 3/8 , b = 2 , c = 3

sodass also die gesuchte Funktion lautet:

f ( x ) = ( 3 / 8 ) x ^ 4 + 2 x ^ 3 + 3 x ²

Und so sieht ihr Graph aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%283%2F8%29x%5E4%2B2x%5E3%2B3x%5E2from-3to1

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f(x) =  ax4 + bx3 + cx2 + dx  + e

->   f '  (x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx +d

->  f ' ' (x) =  12ax2 + 6bx +2c

1)   P ( 0 / 0)             =>   e = 0

2 )   f '  ( 0 ) =  0           =>   d = 0

3 )    f ' ' (-2 )  = 0

4)   f ( -2 )  =  2

5)  f '  ( -2) = 0

 

aus 3)     48 a  - 12b  - 4c  = 0

aus 4 )      16 a  -  8b    +  4c    = 2

aus 5 )        48a   -  12b   +2c   = 0

 

aus3 )   c = 12a - 3b

aus 4)     ...............          bist du dir sicher das im Wendepunkt eine waagerechte Tangente ist ........ das wäre ja dann ein Sattelpunkt ?        ......... denn so ist das LGS nicht lösbar  

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sorry mein fehler hab 5)  falsch eingesetzt

Bei "aus 3)" ist dir ein Fehler unterlaufen. Du hast versehentlich den Summanden 2 c der zweiten Ableitung auch  mit - 2  multipliziert, obwohl die Variable x in diesem Summanden gar nicht auftritt.

Die Gleichung muss richtig lauten:

48 a - 12 b + 2 c = 0

Auch die Gleichung unter "aus 5" ist falsch. Sie muss richtig lauten:

- 32 a + 12 b - 4 c = 0

Irgendwie hast du dich da völlig verhauen, insbesondere mit der letzten Gleichung. Bist du beim Einsetzen in die falsche Ableitung gerutscht?

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Eine ganzrationale Funktion vierter Ordnung hat im Ursprung eine waagerechte Tangente und im Punkt W\((-2| 2)\) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Welches ist ihre Funktionsgleichung ?

Hier ist die gleiche Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/119105/steckbriefaufgaben-parabel-4ter-ordnung

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