Wie kann ich mir den Punkt berechnen, der von den Punkten A=(-1|3),B=(3|1) und C=(4|7) höchstens den Abstand 4 hat?
Ich würde zunächst den Umkreismittelpunkt suchen, der zu allen Punkten den gleichen Abstand hat. Das sollte dann ja der Punkt sein mit dem kleinsten Abstand zu allen Punkten. Den Umkreismittelpunkt erhält man, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt.
Mittelpunkt zwischen A und B
MAB = ((-1 + 3)/2 | (3 + 1)/2) = (1 | 2)
Steigung zwischen A und B
mAB = (1 - 3) / (3 - (-1)) = -2/4 = -1/2
Senkrecht dazu ist die Steigung
nAB = -1/(-1/2) = 2
Mittelsenkrechte von AB
m1(x) = 2(x - 1) + 2 = 2x
Mittelpunkt zwischen A und C
MAC = ((-1 + 4)/2 | (3 + 7)/2) = (1,5 | 5)
Steigung zwischen A und C
mAC = (7 - 3) / (4 - (-1)) = 4/5
Senkrecht dazu ist die Steigung
nAC = -1/(4/5) = -5/4
Mittelsenkrechte von AC
m2(x) = -5/4(x - 1,5) + 5 = -1,25x + 6,875
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
m1(x) = m2(x)
2x = -1,25x + 6,875
3,25x = 6,875
x = 55/26 = 2,115
m1(55/26) = 55/13 = 4,231
Umkreismittelpunkt wäre also M(2,115 | 4,231)
Der dem am nächsten liegende Punkt ist (2 | 4). Nun müsste man noch zeigen das dieser zu allen Punkten höchsten den Abstand 4 hat. Ich denke das schaffst du mit dem Phythagoras oder?