Basis von einem Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Es sei \( U:=\left\{ \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) \in R ^ { 3 } : x - 3 y + 4 z = 0 \right\} \).

Zeige, dass U ein Untervektorraum von R³  ist und \( \left\{ \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 4 } \\ { 3 } \end{array} \right) \right\} \) eine Basis von U bilden. Also dass U ein UVR ist, habe ich bereits geprüft.

a) ist der Nullvektor drinnen

b) Addition

c) Multiplikation.

Können die Vektoren, auch wenn sie linear unabhängig sind, eine Basis bilden? Da man ja in dim 3 ist und damit min. 3 Vektoren braucht, um eine Basis zu bilden.

Answer 1

Es geht um Untervektorräume des R^3, und daher können Basen auch aus weniger als drei Vektoren bestehen. Gegeben ist hier eine Koordinatengleichung, die eine Ebene durch den Ursprung beschreibt. Dies ist immer ein zweidimensionaler Unterraum des R^3. Die beiden genannten Vektoren bilden dann eine Basis von U, wenn sie

1.) in der Ebene U liegen (also die Koordinatengleichung erfüllen) und

2.) linear unabhängig sind.

Answer 2

Die Basis eines Vektorraums ist die maximale Menge an linear unabhängigen Vektoren. Offensichtlich sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Wir müssen nun zeigen, dass wir keinen linear unabhängigen Vektor hinzufügen können.

Lass uns einen beliebigen Vektor (x,y,z) hinzufügen. Wir wollen nun zeigen, dass er wenn er zum Untervektorraum gehört, nicht linear unabhängig von den beiden anderen Vektoren ist. Damit der Vektor zum Untervektorraum gehört, muss x = 3y - 4z gelten. Unser Vektor lautet also (3y - 4z, y, z).

Die Frage ist also: besitzt das Gleichungssystem

$$a \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3y-4z \\ y \\ z\end{pmatrix} $$
für irgendein (y,z) keine Lösung?

Die Antwort ist "Nein", denn die Lösung lässt sich für beliebiges y und z direkt angeben:

$$a = y - 4\frac{z}{3}, \quad b =\frac{z}{3}$$

Also handelt es sich bei den beiden Vektoren um die maximale linear unabhängige Menge von Vektoren in diesem Untervektorraum, sie bilden also eine Basis.

Answer 3

r·[3, 1, 0] + s·[0, 4, 3] = [3·r, r + 4·s, 3·s]

E: x - 3·y + 4·z = 0

Hier mal obiges einsetzen

(3·r) - 3·(r + 4·s) + 4·(3·s) = 0

3·r - 3·r - 12·s + 12·s = 0

0 = 0

Das ist immer erfüllt.

Comments

Ok vielen Dank, das habe ich verstanden. Also kommt  es bei der Basis nur drauf an, wenn ich die zwei Vektoren addiere und in die Gleichung einsetzte, die Gleichung erfüllt? Ich dachte ich muss sie auch auf lineare Unabhängigkeit testen.

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Die beiden gegebenen Vektoren [3, 1, 0], [0, 4, 3] sind linear unabhängig. Ich glaube nicht das du das zeigen musst, da es eigentlich offensichtlich sein sollte.

Zwei lineare Vektoren spannen eine zweidimensionale Ebene auf. Diese Ebene haben wir auch als Ebenengleichung gegeben.

Würden wir einen weiteren linear unabhängigen Vektor zu den beiden gegebenen dazunehmen, würden diese einen Raum aufspannen und keine Ebene mehr.