Am Meisten intressiert mich deine c) Wenn du also nach dem " Satz vom Nullprodukt " , wie ihr das nennt, gehst, spaltest du erst mal ab x5 = 0 . Was dir bleibt, ist eine biquadratische Gleichung ( BQG ) Wie eine gewöhnliche QG wird sie in Normalform notiert
x ^ 4 - p x ² + q = 0 ( 1a )
p = 13 ; q = 36 ( 1b )
Ihr führt doch jetzt immer diese Substitution ein
z := x ² ( 2a )
Mit ( 2a ) wird ( 1a ) eine gewöhnliche QG
z ² - p z + q = 0 ( 2b )
Wenn du jetzt wie üblich über die Mitternachtsformel ( MF ) gehst, bekommst du doch so unhandliche Mitternachtswurzeln wie ( 13/2 ) ² - 36 , die deinen Kenntnissen in Bruchrechnung das Äußerste abverlangen. Dabei wollen wir ja gar nicht quasrieren, sondern sogar einmal öfter die Wurzel ziehen als üblich.
Mein Verfahren leistet genau das Verlangte; ich habe es " Wurzelwurzeln " ( W W ) getauft, weil ich quasi aus der Wurzel nochmal die Wurzel ziehe. Und zwar verknüpft es Vieta das geschmähte Stiefkind mit der normalen MF .
Beginnen wir mit Vieta p ( 1b;2b )
p = z1 + z2 = 13 ( 3a )
p = x1 ² + x2 ² = 13 ( 3b )
wie du siehst, habe ich in ( 3b ) die Substitution ( 2a ) ganz listig wieder zurück genommen; dieses z dient mir nur als Vorwand, um die Vieta Gleichungen anzuschreiben . Direkt rechnen mit z so wie ihr tu ich gar nicht. Jetzt Vieta q
u ² := q = z1 z2 = 36 ( 4a )
u = x1 x2 = 6 ( 4b )
Indem wir diese Hilfsgröße u definiert haben, habe ich in ( 4a ) ZUM ERSTEN MAL die wurzel gezogen - und nicht quadriert.
Merkst du, dass ( 4b ) rein zufällig die quadratische Ergänzung von ( 3b ) ist? Das sieht jetzt so aus:
( x2 + x1 ) ² = p + 2 u = 13 + 2 * 6 = 25 ( 5a )
Es springt förmlich ins Auge, dass die Zahlen viel kleiner und handlicher sind als nach dem traditionellen Verfahren. Und jetzt ziehen wir zum zweiten Mal die Wurzel
x2 + x1 = 5 ( 5b )
Mit der 2. binomischen wirst du in ( 3b;4b ) analog geführt auf
( x2 - x1 ) ² = p - 2 u = 1 ( 6a )
x2 - x1 = 1 ( 6b )
Zu lösen ist das LGS ( 5b;6b ) die Lösung ist immer die selbe:
x2 = aritm. Mittelw. ( 1 ; 5 ) = 3 ( 7a )
x1 = halbe Differenz ( 5 ; 1 ) = 2 ( 7b )
Ich gebe zu; hier wo alles schön ganzzahlig glatt aufgeht, wird der Vorteil meines Ansatzes noch gar nicht so richtig deutlich. Du kannst dich ja nochmal melden.