aufgrund der Fragestellung in
https://www.mathelounge.de/534547/eine-brunnenbaufirma-stellt-folgendes-angebot#c534734
kamen mir einige Gedanken wie man die Integralrechnung
bei arithmetischen Reihen nutzen kann.
Die Skizze zeigt den treppenförmigen Verlauf ( Balkendiagramm )
einer arithmetischen Reihe mit
Anfangsglied 300
Endglied 1200
Anzahl 4 ( Balken )
( Einschub : für den der es noch nicht weiß.
1. plus 4. Balken : 300 + 1200 = 1500
2. plus 3. Balken : 600 + 900 = 1500
daraus abgeleitet
)
Summe = ( Anfang + Ende ) * Anzahl / 2
Summe = ( 300 + 1200 ) * 4 / 2 = 3000
Die Aufgabe kann auch mit Integralrechnung
gelöst werden.
Rote Gerade : y = 300 * x ( Untersumme )
Grüne Gerade : y = 300 * x + Anfang ( Obersumme )
Grüne Gerade : y = 300 * x + 300 ( Obersumme )
Dazwischen
y = 300 * x + Anfang / 2
Fläche
∫ 300 * x + Anfang / 2 dx zwischen 0 und 4
∫ 300 * x + 300 / 2 dx zwischen 0 und 4
[ 300 * x^2 / 2 + 150 * x ] zwischen 0 und 4
2400 + 600 = 3000
Die Ergebnisse Arithmetische Reihe / Integralrechnung
stimmen überein.
Die Integrallösung ist auch für Größeres bzw
für Zwischenwerte geeignet ( z.B. x = 4.3 ).