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Brauche Hilfe bei den Ebenenscharen

Ich bin gerade dabei für meine Klausur zu lernen. Allerdings komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Schon mal vielen lieben Dank ❤️

Lisaaa


Gegeben sei die Ebenenschar E : 2x + 2y +z = 2a +4"

b) Geben Sie zwei Ursprungsebenen anm die zueinander und zu allen Ebenen der Schar E orthogonal sind"

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Du brauchst ja nur 2 Normalenvektoren die zum Gegebenen orthogonal sind. Den ersten findet man leicht über probieren. Den zweiten findet man übers Kreuzprodukt.

[2, 2, 1] ⨯ [1, -1, 0] = [1, 1, -4]

E1: x - y = 0

E2: x + y - 4·z = 0

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Hallo LIsa,

in der Ebenenschar liegen alle Ebenen parallel zueinander, da der Normalenvektor \(n\) unabhängig vom Parameter \(a\) ist.

$$E: \, 2x + 2y +z = 2a +4 \quad \rightarrow n = \begin{pmatrix} 2  \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Um eine Ebene zu finden, die senkrecht auf der Ebeneschar steht, benötigt man nur einen Vektor \(n_2\), der senkrecht auf \(n\) steht. Dazu setze eine Koordinate zu 0, vertausche die beiden anderen und negiere eine - also z.B.:

$$n_2 = \begin{pmatrix} 2  \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

\(n_2\) steht senkrecht auf \(n\), da das Skalarprodukt \(n \cdot n_2 = 0\) ist. Die Ebene\(E_2\)  lautet dann: $$E_2: \, \begin{pmatrix} 2  \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0 \quad \text{bzw.:} \quad 2x - 2y = 0$$

Die 0 auf der rechten Seite macht daraus eine Ebene durch den Ursprung, da dann der Punkt \(O = \begin{pmatrix} 0& 0&  0 \end{pmatrix}^T\) ein Punkt in der Ebene ist.

Die nächste Ebene \(E_3\), die senkrecht auf beiden steht, bekommt man über das Kreuzprodukt. $$E_3: \, (n \times n_2) \cdot \vec{x} = 0$$ Also: $$E_3: \, \begin{pmatrix} 2  \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0 \quad \text{bzw.:} \quad 2x + 2y - 8z = 0$$ (könnte man natürlich noch durch 2 dividieren! Genau so bei \(E_2\))

Gruß Werner

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Gegeben sei die Ebenenschar E : 2x + 2y +z = 2a +4"

b) Geben Sie zwei Ursprungsebenen anm die zueinander und zu allen Ebenen der Schar E orthogonal sind"

Die Normalenvektoren müssen senkrecht aufeinander stehen.

Bsp:

E1: x - y = 0

E2 mit Normalenvektor

n2 = (2,2,1) x (1,-1,0)

Kreuzprodukt ausrechnen: ---> n2 =: (u,v,w)

E2: ux + vy + wz = 0

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