Ja, es handelt sich um ein uneigentliches Integral.
Und nein, es konvergiert nicht, die Lösung von Bepprich ist falsch, das nehme ich schonmal vorweg.
Die Funktion
$$ f ( x ) = \frac { 1 } { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } } $$
besitzt eine sogenannte Polstelle bei x=-1/2, denn wenn man für x gegen diesen Wert geht, dann geht der Nenner gegen 0, also der Funktionswert gegen unendlich.
Um ein solches Integral auszurechnen, musst du es zunächst in zwei Hälften aufteilen, die jeweils die Polstelle als Grenze besitzen.
Wichtig ist außerdem, dass du nur dann die beiden Ergebnisse addieren darfst, wenn beide Teilintegrale konvergieren.
$$ \begin{array} { l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } } d x = ? } \\ { \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \int _ { - 1 } ^ { c } \frac { 1 } { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } } d x } \\ { = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \int _ { - 1 } ^ { 2 c + 1 } \frac { 2 } { u ^ { 2 } } d u } \end{array} \\ \begin{array} { l } { = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ - \frac { 1 } { u } \right] _ { - 1 } ^ { 2 c + 1 } } \\ { = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 c + 1 } \right] = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ \frac { 2 c + 1 - 1 } { 2 c + 1 } \right] = \lim \limits _ { c \uparrow - 0.5 } \left[ \frac { 2 c } { 2 c + 1 } \right] \rightarrow \infty } \end{array} $$
Da das Integral also bereits auf dem ersten Teilintervall gegen Unendlich geht, kann das gesamte Integral nicht konvergieren und ist damit nicht ausrechenbar.