Summe von 1/k! = e beweisen.

Question

 

Ich will zeigen, dass

Summe (k=0 -> ∞) 1/k! = e

Ich weiss,

e = lim (1+(1/n))ⁿ

bringt es mir etwas wenn ich es so umschreibe:

Summe (k=-1 -> ∞) 1/k! = e -1 = (1+(1/n))ⁿ - 1

Und kann ich hier "n = k" annehmen?

 

Lg

Tulbih

Comments

Könntest du für e^x nicht ein Taylor-Polynom aufstellen ?

Ich hasse Beweise weil ich nicht weiß, wann ich welche Grundlagen verwenden darf und wann nicht.

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Ja dummerweise hatten wir Taylor-Polynome noch nicht angeschaut.


Was gäbe es sonst noch für Grundlagen?


Lg Tulbih

Answer 1

Nein und nein.

Deine Summe so umzuschreiben ist nicht zulässig, da du dann ja die Fakultät von -1 berechnen müsstest, was - glaube ich - nicht definiert ist.

Und n=k anzunehmen ist falsch, da die beiden Variablen nichts miteinander zu tun haben (k ist natürliche Zahl, k reelle Zahl).

Ich weiß leider nicht auf welchem Niveau ich dir das erklären kann, sodass du das verstehst. Solltest du etwas nicht verstehen, frag einfach nach:

$$ \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e^{ \lim_{n \to \infty} n \cdot ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) } \quad (1)$$

Setze nun a = 1/n, dann läuft der Limes gegen 0 statt gegen unendlich und es folgt für den Exponenten:

$$ \lim_{n \to \infty} n \cdot ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \lim_{a \to 0} \frac{ ln(1 + a)}{a} \ .$$

l'Hospital anwenden (Zähler und Nenner ableiten):

$$ =  \lim_{a \to 0} \frac{1}{1+a} = 1 \ . $$

Das ganze jetzt in (1) einsetzen und du erhältst:

$$ \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = e^1 = e \ .$$

Comments

Hallo Yukawah

Danke vielmals für deine Hilfe!

Eigentlich habe ich es verstanden nur zwei Probleme habe ich:

- ich sollte die Regel "l`hospital" eigentlich nicht gebrauchen, gibt es eventuell ein anderer Weg?

- wie kommt man auf diese Ideen? Ich kenn all diese Tricks  eigentlich auch, weiss aber nie wie ich sie anwenden könnte...

Lg Tulbih

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Sicherlich gibt es noch diverse weitere Möglichkeiten das zu zeigen. Es kommt halt darauf an, was du verwenden darfst und was nicht. Weißt du, dass wenn man eine Funktion ableitet und sie sich selbst ergibt, es sich lediglich um e^x handeln kann? Für den Fall fiel mir jetzt spontan noch ein, dass du den Grenzwert von (1+x/n)^n ableitest und siehst, dass dasselbe herauskommt. Somit muss es sich um e^x handeln. Dann einfach x=1 setzen und es ist ebenfalls bewiesen. Wie gesagt, kommt immer darauf an, was erlaubt ist.

Wie man auf solche Beweisideen kommt? Also ich hatte anfangs auch Schwierigkeiten solche Wege zu erkennen. Mit der Zeit (Monate/Jahre) "sieht" man sowas dann, bzw. hat ein Händchen im Raten. ;)