Eine Matrix konstruieren

Question

Aufgabe:

Konstruieren Sie eine Matrix A ∈ ℝ^4x4, die in keinem Eintrag eine 0 stehen hat und welche die vier Eigenwerte 2,0,1,8 besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die leider nicht :/ wie soll es berechnet werden?

Answer 1

Denke dir einfach eine Basis, ich habe mal genommen

1
0
0
0

und

1
1
1
1

und
1
1
0
0

und

1
1
1
0

und denke dir diese als Eigenvektoren der Reihe nach zu den

Eigenwerten 0, 8 , 2 und 1 . Dann ist die zugehörige Matrix  M=

0   8    2      1
0   8    2      1 
0   8    2      1
0   0    0      1

weil in den Spalten ja die Bilder der Basisvektoren bei der

zugehörigen lin. Abb. stehen.

Jetzt musst du nur noch Basistransformation machen mit einer

Matrix (Ich hab einfach mal was probiert) so dass keine

0en mehr rauskommen. So liefert z.B  Transformationsmatrix T =

1      2    3     4  
-1     2    1     3
1     -1    2     3
1     1     1      2

mittels   T^(-1) * M * T  das Gewünschte.

Comments

Kannst du bitte erklären, wie du die Umformung gemacht hast von

0  8  2 1

0 8  2  1

0 8  2  1

0 0 0 1

zu

1  2  3  4

-1 2 1 3

1 -1 2  3

1  1 1 2

Mit Gauß-Algorithmus oder was?

---

Nix umgeformt. Einfach mal ein paar

Basistransformationen ausprobiert, so dass keine

0en mehr auftauchen.

---

Marcy versteh nichts :(

---

Transformierst du jetzt jede Basis vom Eigenvektor einzeln, also wird der Baisvektor (1,0,0,0) zu B jetzt zu (1,-1,1,1) umgeformt oder bezieht sich das auf die Basiswechselmatrix als Ganzes?

---

Basisvektor (1,0,0,0) zu B jetzt zu (1,-1,1,1) umgeformt.

Könnte man so sagen.

Dann hast du die Matrix bezogen auf eine neue Basis.

Die Eigenwerte und Eigenvektoren bleiben ja

dabei erhalten.

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)#Basiswechselmatrix

---

Aber dieser Gauß-Jordan-Algorithmus klappt doch nur für zwei oder mehrere Vektoren und sorgt doch dafür, dass auf einer Seite die Einheitsmatrix steht. Das wollen wir doch gar nicht. Die Einheitsmatrix wäre ja

1 0  0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

und wir wollen von

0 8 2 1

0 8 2 1

0 8 2 1

0 0 0 1

ja nicht auf die Einheitsmatrix, sondern auf

1  2  3  4

-1 2 1 3

1 -1 2  3

1  1 1 2

kommen.

(Ok, das ist mit Abstand das schwerste Thema bisher!)