die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:
48 ist Teiler von 52n + 24n - 1.
Ich habe bisher so gemacht:
Induktionsanfang:
5^2+24-1 =48. 48 ist Teiler von 48.
Induktionsschritt:
52n+2 + 24n + 23= 52n 52 + 24n + 23 = 52n25 + 24n + 23
Wie gehe ich weiter??
Vielen Dank im Voraus!
Zu zeigen:5^(2·n) + 24·n - 1 ist durch 48 teilbarInduktionsanfang: n = 15^(2·1) + 24·1 - 1 ist durch 48 teilbar.48 ist durch 48 teilbar.wahrInduktionsschritt: n → n + 15^(2·(n + 1)) + 24·(n + 1) - 1 ist durch 48 teilbar25·5^(2·n) + 24·n + 24 - 1 ist durch 48 teilbar(5^(2·n) + 24·n - 1) + (24·5^(2·n) + 24) ist durch 48 teilbar(5^(2·n) + 24·n - 1) + 24·(5^(2·n) + 1) ist durch 48 teilbarder erste Summand 5^(2·n) + 24·n - 1 ist durch Induktionsvoraussetzung durch 48 teilbar.Damit 24·(5^(2·n) + 1) durch 48 teilbar ist muss 5^(2·n) + 1 durch 2 teilbar sein. Das Produkt ungerader Zahlen ist wieder eine ungerade Zahl. Addiert man 1 zu einer ungeraden Zahl so erhält man eine gerade Zahl. Damit ist also auch der zweite Summand durch 48 teilbar.
= 5^{2n}25 + 24n + 23
= 24*5^{2n} + 5^{2n} + 24n + 24 - 1
= (24*5^{2n} + 24) + (5^{2n} + 24n - 1)
= 24*(5^{2n} + 1) + (5^{2n} + 24n - 1)
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