Euler-Differentialgleichung

Question

a) Erweitern Sie den Substitutionsansatz t = e^s, x(t) = u(s) aus der Vorlesung für Euler-Gleichungen der Ordnung 4, um eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zu erhalten.
b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung von

t⁴x⁽⁴⁾ + 4t³x′′′ + 6t²x′′ − 4tx′ + 4x = 0.

c) Berechnen Sie eine partikuläre Lösung von

t⁴x⁽⁴⁾ + 4t³x′′′ + 6t²x′′ − 4tx′ + 4x = g(t)

für g(t) = t bzw. g(t) = t2.

Bei dieser Aufgabe komme ich gar nicht weiter... Ich habe eine ähnliche Frage hier gefunden, welche aber schon ein paar Jahre alt ist. Die Antwort (ein Wikipediaartikel) war für mich leider überhaupt nicht nachvollziehbar.

Deshalb hoffe ich, dass es ok ist die Frage "nochmal" zu stellen

LG!

Answer 1

"Euren" Ansatz kenne ich nicht,dieser ist letzten Endes das Gleiche.

http://www.tm-mathe.de/Themen/html/gewdgleuler.html

Ich habe von dort für y' bis y'''' die Formeln in die DGL eingesetzt und vereinfacht.

Ich erhalte:

λ^4 -2λ^3 +5λ^2-8λ+4=0

(λ-1)^2 *(λ+4)^2=0

λ_1.2=1

λ_3.4=±2i

--------->

x(t) = C₃ t + C₄ t ln(t) + C₂ sin(2 ln(t)) + C₁ cos(2 ln(t))