Parameterwahl dass nur eine Lösung raus kommt

Question

Für welche Wahl des Parameters a hat die Gleichung genau eine Lösung?

a) 3x² + ax -a = 0

b) ax² + a/2x - 1 = 0 ; a ≠ 0

c) (x + 1) = (a - x)²

Comments

Hi Benni,

nutze die Möglichkeiten der pq-Formel.

Sorge dafür, dass der Radikand 0 wird. Ist dies der Fall ist die Doppelwertigkeit der Wurzel nichtig -> Nur eine Lösung.


Grüße

Answer 1

Wissen sollte man eventuell die abc Formel: x = (-b ± √(b^2 - 4·a·c))/(2·a)

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel. D = b^2 - 4·a·c

 

a) 3x² + ax - a = 0

D = a^2 - 4*3*(-a) = 0
a = -12 ∨ a = 0

 

b) ax² + a/2x - 1 = 0 ; a ≠ 0

D = (a/2)^2 - 4*a*(-1) = 0
a = -16

 

c) (x + 1) = (a - x)²
x^2 + x·(-2·a - 1) + (a^2 - 1) = 0

D = (-2·a - 1)^2 - 4*(a^2 - 1) = 0
a = - 5/4

Answer 2

Für welche Wahl des Parameters a hat die Gleichung genau eine Lösung?

Eine Lösung liegt dann vor, wenn der Scheitelpunkt (Maximum oder Minimum) auf der x-Achse liegt.

a)

\(3x^2 + ax -a = 0\)

 \(f(x)=3x^2 + ax -a \)

\(f'(x)=6x + a \)

\(6x + a=0 \)

\(x=-\frac{a}{6}\)       \(f(-\frac{a}{6})=3\cdot(-\frac{a}{6})^2 + a(-\frac{a}{6}) -a=-\frac{a^2}{12}-a \)

\(-\frac{a^2}{12}-a=0 \)

\(a_1=0\)

\(a_2=-12\)

b)

 \(ax^2 +  \frac{a}{2}x - 1 = 0 \) ; \(a ≠ 0\)

\(f(x)=ax^2 +  \frac{a}{2}x - 1  \)

\(f'(x)=2ax +  \frac{a}{2}  \)

\(2ax +  \frac{a}{2} =0 \)

\(x =-\frac{1}{4} \)       \(f(-\frac{1}{4})=a(-\frac{1}{4})^2 +  \frac{a}{2}(-\frac{1}{4}) - 1=0  \)

\(a=-16  \)

c)

 \((x + 1) = (a - x)^2\)

\(f(x)=x + 1- (a - x)^2\)

\(f'(x)=1 - 2(a - x)\cdot(-1)\)

\(1 - 2(a - x)\cdot(-1)=0\)

\(x=a+0,5\)   \(f(a+0,5)=(a+0,5) + 1- [a - (a+0,5)]^2=0\)

\(a=-1,25\)