Es sei \((X,d)\) ein metrischer Raum und \((x_n)_n\subset X\) eine Folge, die gegen \(x\in X\) konvergiert mit \(x_n\neq x\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Betrachten Sie für \(n\in \mathbb{N}\) die Mengen \(A_n:=\{x_i : 1\leq i \leq n\}\)
Zeigen Sie, dass \(A_n\) abgeschlossen ist für \(n\in \mathbb{N}\).
\(X\) ist folgenabgeschlossen, da für jede Folge \((x_n)_n\in X\) auch der Grenzwert in \(X\) liegt.
Damit \(A_n\) abgeschlossen ist, muss \(X\backslash A_n\) offen sein. Es gilt aber doch \(X\backslash A_n=\{x\}\)? Sind nicht einelementige Mengen immer abgeschlossen, was bedeuten würde, dass \(A_n\) nicht abgeschlossen ist?
Hmm..