Sei \(v : \mathbb{R}^n \backslash \{0\} \to \mathbb{R} , x\mapsto ||x||_2:=\sqrt{x_1^2+\cdots + x_n^2}\)
Die partiellen Ableitungen sind kein Problem. Es gilt:$$\partial _j v(x)=\partial _j(x_1^2+\cdots + x_j^2+\cdots x_n^2)^{1/2}=\frac{1}{2}\frac{2x_j}{\sqrt{x_1^2+\cdots x_n^2}}=\frac{x_j}{v(x)}$$ Der Gradient ist definiert durch den Vektor \(\text{grad} f(x):=(\partial _1 f(x), ..., \partial _n f(x))\). Der Gradient von \(v(x)\) ist nun in meinem Lehrbuch angegeben durch:$$\text{grad} \, v(x)=\frac{x}{||x||_2} \text{ für } x\in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$$ Ich verstehe irgendwie nicht, warum das so ist? Ich habe bisher noch keine Lineare Algebra gehört, aber wieso wird denn aus einem Vektor ein Quotient?