Hallo Maxi,
da Du es ja sowieso zeichnen sollst, kanst Du auch gleich mit einer Zeichnung beginnen. Im Prinzip steht doch dort$$|z+a|=|z+b|, \quad a = -1+i, \quad b = -3-5i $$Zeichne die komplexen Zahlen \(a\) und \(b\) als Vektoren in die Gaußsche Zahlenebene ein. Dann zeichne einen Punkt \(z\) irgendwo hin und konstruiere die Summen \(z+a\) und \(z+b\). Ich habe das mal hier als CindyJS-Applet gemacht:
https://jsfiddle.net/snrq97zg/
Die Summen sind der rote und hellblaue Vektor, der am Ursprung startet. Die Beträge der Summen sind die Längen der Vektoren. Damit diese gleich sind, muss der Ursprung auf der Mittelsenkrechten der Strecke von \(A=z+a\) nach \(B=z+b\) liegen. Verschiebe \(z\) mit der Maus, dann siehst Du das.
Mit diesem Hintergrund kann man nun die Lösungsgerade berechnen: \(z\) muss auf einer Geraden liegen, die senkrecht auf der Strecke \(a-b\) steht und durch den Punkt \(-m=-(a+b)/2\) verläuft. Und aus diesen Informationen kann man bereits die Normalenform der gesuchten Geraden aufstellen. Dazu definiere ich ein Skalarprodukt komplexer Zahlen $$\left< u +vi,\, x+yi\right> = u\cdot x + v \cdot y$$und mit der Information $$\begin{aligned} m &= \frac{a+b}2 = -2 - 2i \\ a-b &= 2+6i \end{aligned}$$ kann man dann die Normalenform der Geraden aufstellen$$\begin{aligned}\left< a-b,\, z \right> &= \left<a-b,\, -m\right> && \text{Normalenform} \\ \left< 2 + 6i,\, x+yi \right> &= \left< 2+6i,\, 2 + 2i\right> \\ 2x + 6 y&= 4 + 12 &&\left|\,\div 2 \right.\\ x + 3y &= 8 \\ \implies y &= -\frac 13x + \frac 83\end{aligned}$$
