Warum ist jeder bogenweise zusammenhängende Raum zusammenhängend?

Question

Definition "zusammenhängend":

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es keine Zerlegung \(X=U∪V\) gibt, in welcher \(U\) und \(V\) beide offen, disjunkt und nicht leer sind.

Definition bogenweise zusammenhängend

Ein metrischer Raum \(X\) heißt bogenweise zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten \(a,b\in X\) einen Weg, d. h. eine stetige Abbildung \(\gamma : [0,1]\to X\) mit \(\gamma (0)=a\) und \(\gamma (1)=b\) gibt.

Warum ist jeder bogenweise zusammenhängende Raum zusammenhängend?

Antwort:
Angenommen, für einen bogenweisen zusammenhängenden Raum \(X\) gibt es eine Zerlegung \(X=U\cup V\) in offene, disjunkte und nichtleere Mengen \(U\) und \(V\). Für einen stetigen Weg \(\gamma : [0,1]\to X\) von \(u\in U\) nach \(v\in V\) sind dann die Mengen \(\gamma ^{-1}(U)\) und \(\gamma ^{-1}(V)\) beide offen, disjunkt, nichtleer und es gilt \(\gamma ^{-1}(U)\cup \gamma ^{-1}(V)= [0,1]\). Eine solche Zerlegung von \([0,1]\) kann es aber nicht geben (schon gezeigt).

Fragen:

Wie sind \(\gamma ^{-1} (U)\) bzw. \(\gamma ^{-1} (V)\) im Zusammenhang zu deuten? Ich hatte gedacht, das seien alle möglichen Punkte, von den in der jeweiligen Teilmenge von \(X\) verlaufenden Wege, allerdings verstehe ich dann \(\gamma ^{-1}(U)\cup \gamma ^{-1}(V)= [0,1]\) nicht. 

Ist \(\gamma ^{-1} : X\to [0,1]\) nicht eine Funktion, die einem beliebigen Punkt in \(X\) angibt, wie viel "Prozent des Weges" dieser vom Start absolviert hat?

Answer 1

\(\gamma^{-1}\) ist keine Funktion, sondern ein Mengenoperator, er gibt einfach das Urbild an, also die Parameter die in der gewünschten Menge landen, expliziter: \(\gamma^{-1}(A) = \{x\in [0,1]|\gamma(x)\in A\}\).

Der Weg \(\gamma\) verläuft in \(X\), diesen Raum hast du disjunkt aufgeteilt in \(U,V\). Das bedeutet, für jedes \(t\in[0,1]\) landest du mit \(\gamma\) entweder in \(U\) oder in \(V\), damit kannst du das Intervall \([0,1]\) aufteilen, nämlich in die Punkte die in \(U\) landen und die die in \(V\) landen, genau das ist diese Aufteilung in die Urbilder. Diese Aufteilung von \([0,1]\) in \(\gamma^{-1}(U)\) und \(\gamma^{-1}(V)\) ist:

1. disjunkt (da U und V disjunkt sind)

2. offen (da U und V offen sind und \(\gamma\) stetig ist)

3. überdeckt [0,1] (da U und V den Zielbereich von \(\gamma\) überdecken)

Klärt das deine Verwirrung? :)

LG

P.S.: Niemand sagt mehr "bogenzusammenhängend", die standardisierte Sprechweise ist "wegzusammenhängend", auf englisch "path-connected".

Comments

Ja, super — Danke. Ich hätte einfach die Definition des Urbilds nachschlagen müssen, da hat es Klick gemacht.

Seltsam, das Lehrbuch, das ich verwende ist eigentlich gar nicht so alt. Naja, es verwendet "bogenzusammenhängend" oder "wegweise zusammenhängend".